Одночлен. Умножение и возведение в степень одночлена

Тема очень простая, читаем внимательно и вникаем.

Одночлен и его стандартный вид

Одночленом называется выражения, которые являются произведениями чисел, переменных и их степеней.

Примеры одночленов: -7, y, 3a^3b, -6x, 6s^3f^7

Стандартным видом одночлена называют одночлен на первом месте, которого находится число (если есть), а далее идут переменные со степенями (переменные не повторяются).

К примеру, 6x^2(-4) — это одночлен, который не приведен к стандартному виду, чтобы его привести потребуется умножить числа между собой, а переменную оставить прежней. Получается -24x^2.

Число -24 называется коэффициентом одночлена.

Умножение одночленов  

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правила умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, при этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

ПРИМЕР 1. Умножить одночлены: -4b^3c^2 и 3b^2c^4d

В первую очередь перемножаем числа, далее умножаем степени с одинаковыми основаниями. Если вы не забыли, то при умножении степеней с одинаковыми основаниями степени просто складываются, а основание остается прежним.То есть:

-4b^3c^2 \cdot 3b^2c^4d = (-4 \cdot 3) \cdot (b^3b^2) \cdot (c^2c^4) \cdot d = -12b^5c^6d

-12b^5c^6d — одночлен стандартного вида, это и есть наш ответ.

ПРИМЕР 2. Возведем в четвертую степень следующий одночлен 3a^4b^2c

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно каждое число и каждую переменную возвести в эту степень. Чтобы возвести степень в степень нужно степени перемножить, а основание оставить прежним (если забыли).

(3a^4b^2c)^4=3^4(a^4)^4(b^2)^4c^4=81a^16b^8c^4

Мы получили одночлен стандартного вида, который и будет нашим ответом.

 

Думаю примеры больше не нужны и так все предельно ясно, попрактикуйтесь и поймете, что здесь все очень просто. Если, что-то будет непонятно пишите в комментариях, я отвечу или дополню данный урок еще дополнительными примерами.

Матрица и операции над ней

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины.

Определение матрицы

Матрицей A размерности m \times n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов, число расположенное в i-ой строке и j-столбце обозначается a_{ij} и называется элементом матрицы A, т. е.

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Операции над матрицами

Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами:

  • сумма матриц;
  • произведение матрицы на число;
  • произведение матриц;
  • транспонирование матрицы

Сумма матриц

Сумма матриц A_{m \times n} и B_{m \times n} называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, где  i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример, чтобы стало понятнее.

ПРИМЕР 1. Найди сумму матриц А и В.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Как ясно из определения, чтобы найти сумму двух матриц нужно просто каждый элемент одной матрицы сложить с каждый элементом второй матрицы.

C=\begin{bmatrix} -4+(-1) & 6+0 & 0+3 \\ 8+5 & 2+1 & -2+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 6 & 3 \\ 13 & 3 & 0 \end{bmatrix}

Как видите здесь сложного абсолютно ничего нет, так можно складывать и три и более матриц.

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы A_{m \times n} на число \alpha называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}= \alpha a_{ij}, где i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2. Умножь матрицу А на число 2.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}; \alpha = 2

Эта операция, наверное, еще проще предыдущей. Нужно просто число умножить на каждый элемент матрицы А.

\alpha A=\begin{bmatrix} -4 \cdot 2 & 6 \cdot 2 & 0 \cdot 2 \\ 8 \cdot 2 & 2 \cdot 2 &-2 \cdot 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -8 & 12 & 0 \\ 16 & 4 &-4 \end{bmatrix}

Произведение двух матриц

Произведением матрицы A_{m \times n} на матрицу B_{n \times k} называется матрица C_{m \times k} такая, что c_{ij}=a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \dots + a_{in} \cdot b_{nj}

Условие: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, иначе умножение невозможно!

Здесь уже более сложно так, что будьте внимательны. Чтобы сперва понять, возьмем пример самый простой с квадратными матрицами второго порядка.

ПРИМЕР 3. Вычислить произведение двух матриц.

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

Сразу, я вам не советую составлять матрицы, а делать все постепенно, подробно расписывая. Потом, когда приловчитесь, будете записывать все кратко и большинство действий проделывать в голове.

Поэтому по-порядку, распишем каждое получаемое число:

c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = -2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = -2+5=3

c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = -2 \cdot -3 + 5 \cdot 4 = 6+20=26

c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 3+0=3

c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot -3 + 0 \cdot 4 = -9+0=-9

Если записываете данные вычисления в тетради, то не забудьте выделить с обоих сторон фигурными скобками, обозначая отступление от решения { }.

Теперь можно записать получившуюся матрицу С, не забывайте — первое число элемента матрицы — это строка, второе число — столбец.

В итоге, получаем

C=\begin{bmatrix} 3 & 26 \\ 3 & -9 \end{bmatrix}

ЗАПОМНИТЕ!  При умножении матриц НЕ действует закон коммутативности (от перестановки мест множителей произведение не меняется). В матрицах произведение меняется, т. е. у вас не получится поменять местами две матрицы.

Так, думаю, стоит рассмотреть еще один пример на умножение, но уже по-сложнее, к примеру, третьей размерности возьмем матрицы.

ПРИМЕР 4. Вычислить произведение двух матриц.

 

A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 7 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 4 \\ -3 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21} +a_{13}b_{31} =5 \cdot 7+(-3) \cdot 8+4 \cdot (-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b_{22} +a_{13}b_{32} =5 \cdot (-3)+(-3) \cdot (-5)+4 \cdot 0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b_{23} +a_{13}b_{33} = 5 \cdot 1+(-3) \cdot 4+4 \cdot 2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b_{21} +a_{23}b_{31} = 6 \cdot 7+1 \cdot 8+0 \cdot (-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} +a_{23}b_{32} = 6 \cdot (-3)+1 \cdot (-5)+0 \cdot 0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b_{23} +a_{23}b_{33} = 6 \cdot 1+1 \cdot 4+0 \cdot 2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b_{21} +a_{33}b_{31} = (-5) \cdot 7+4 \cdot 8+(-1) \cdot (-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b_{22} +a_{33}b_{32} = (-5) \cdot (-3)+4 \cdot (-5)+(-1) \cdot 0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b_{23} +a_{33}b_{33} = (-5) \cdot 1+4 \cdot 4+(-1) \cdot 2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

C=\begin{bmatrix} -1 & -30 & 1 \\ 43 & -23 & 10 \\ 0 & -5 & 9 \end{bmatrix}

Транспонирование матрицы

Матрица A^T_{n \times n} называется транспонированной матрицей A_{m \times n}, если

a_{ij}^T=a_{ji}, где i=1,2, \dots, n; j=1,2, \dots, m

ПРИМЕР 5. Транспонировать матрицу А:

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -2 \end{bmatrix}

A^T=\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

Как видите первый столбец стал первой строкой, второй столбец второй строкой и так далее. Ничего сложного не вижу в этом и обычно у студентов проблем с транспонированием не возникает.

Свойства операций над матрицами

  1. A+B=B+A
  2. A+(B+C)=(A+B)+C
  3. A \cdot B \not= B \cdot A       ВНИМАТЕЛЬНО!
  4. A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C
  5. (A+B) \cdot C = AC + BCC \cdot (A+B)=CA+CB
  6. ( \alpha + \beta )\cdot A = \alpha A + \beta A
  7. \alpha (A+B) = \alpha A + \alpha B
  8. (A^T)^T=A
  9. (A+B)^T = A^T+B^T
  10. (A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T    ВНИМАТЕЛЬНО!

Ну думаю для первой темы вам будет предостаточно, в принципе ничего сложного, ведь все операции над матрицами сводятся к простым арифметическим операциям, которые вы надеюсь умеете выполнять еще с начальной школы.

Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A.

Биноминальное распределение

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события A (успех) или его не наступление \overline {A} (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна P(A)=p, (0 \leqslant p \leqslant 1) – постоянна и не зависит от номера испытания. Следовательно, вероятность неуспеха P(\overline A)=1-p=q — тоже постоянна.

Сформулируем задачу – вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k – раз. Чтобы стало понятнее сделаю схематический чертеж:

\underbrace{ \overbrace{p p .............. p}^{k} \overbrace {\rm q q ........ ....... q q}^{n-k}}_{n}

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

P=p \cdot p \cdot \dots \cdot p \cdot q \cdot q \dots \cdot q=p^k \cdot q^{n-k}

Однако интересующее нас событие ( k успехов при n опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

C_n^k=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Окончательно получим

P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}=\frac{n! \cdot p^k \cdot q^{n-k}}{k! \cdot (n-k)!}

Это и есть формула Бернулли (биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(p+k)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли следует:

\sum_{k=0}^n P_n(k)=1

Очевидно этот же результат получится, если учтем, что для k={0, 1, 2, \dots n} получим полную группу событий, вероятность которых равна 1.

Теперь давайте все эти сперва непонятные формулы рассмотрим на примере.


ПРИМЕР 1. В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, …, 10 мальчиков.

Решение

Отметим, что в силу предположения p=q=0,5 и равенства C^m_n=C_n^{m-n} имеют место равенства: P_n(m)=P_n(n-m). Отсюда получим:

 P_{10}(0)=P_{10}(10)=C^0_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{1}{1024},

P_{10}(1)=P_{10}(9)=C^1_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{10}{1024},

P_{10}(2)=P_{10}(8)=C^2_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{45}{1024},

P_{10}(3)=P_{10}(7)=C^3_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{120}{1024},

P_{10}(4)=P_{10}(6)=C^4_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{210}{1024},

P_{10}(5)=C^5_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{252}{1024}

ОТВЕТ

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ≈ 0,25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.


График биноминального распределения

Введем следующее обозначение, пусть P_n(m_1 \leqslant k \leqslant m_2) означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем m_1 раз, и не более чем m_2 раз (0 \leqslant m_1 \leqslant m_2 \leqslant n). Так как события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

P_n(m_1 \leqslant k \leqslant m_2)=\sum_{k=m_1}^{m_2} P_n(k).

Вероятность P_n(1 \leqslant m \leqslant n) того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

P_n(1 \leqslant k \leqslant n)=1-P_n(0)=1-q^n

Типичный график биномиального распределения для p=0,5; n=20:

График вероятностей биномиального распределения

Заострять внимание на графике, думаю, не нужно так как все предельно ясно, график очень похож на параболу, имеет свой максимум, в котором вероятность успеха будет максимальной. Поэтому лучше поработаем дальше с формулами, с которыми все немного сложнее.

Сформулируем задачу: необходимо найти k_0 — наивероятнейшее число успехов, то есть такое k_0, вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности (их два):

а) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0-1)} \geqslant 1;   б) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0+1)} \geqslant 1.

Запишем неравенства а) и б) в явном виде:

а) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0-1)}=\frac{n!}{k_0!(n-k_0)!} \cdot \frac{(k_0-1)!(n-k_0+1)}{n!} \cdot \frac{p^{k_0}q^{n-k_0}}{p^{k_0-1}q^{n-k_0+1}}=\frac{(n-k_0+1)p}{k_0q} \geqslant 1, k_0 \leqslant np+p;

б) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0+1)}=\frac{n!}{k_0!(n-k_0)!} \cdot \frac{(k_0+1)!(n-k_0-1)}{n!} \cdot \frac{p^{k_0}q^{n-k_0}}{p^{k_0+1}q^{n-k_0-1}}=\frac{(k_0+1)q}{(n-k_0)p} \geqslant 1k_0 \leqslant np-q.

Учитывая оба неравенства, окончательно получим

np-q \le k_0 \le np+p

В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является:

  • единственное число k_0=\lceil np+p \rceil, если число np+p не целое;
  • два числа k_0=np+p и k_0=np+p-1, если число np+p целое.

При достаточно большом числе испытаний (n \rightarrow \infty) из полученного выше выражения, получим p \thickapprox \frac{k_0}{n}статистическое определение вероятности.

При больших значениях n наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.


 

ПРИМЕР 2. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна p=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение

Вероятность нормального расхода p=0,75. Вероятность перерасхода q=1-p=0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

P_6(4)=C_6^4 \cdot p^4 \cdot q^2=\frac{6! \cdot 0,75^4 \cdot 0,25^2}{4! \cdot 2!} \thickapprox 0,3

ОТВЕТ: Вероятность того, что расход э/э не превысит нормы составляет примерно 0,3 или 30%.


Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m>2) попарно несовместных и возможных исходов, которые обозначим A_j(j=1,2, \dots, m). События A_j составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события p_j=P(A_j) — в общем случаи различны и удовлетворяют условию \sum_{j=1}^{m} p_j=1. В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел k_i таких, что \sum_{i=1}^{m} k_i=n, определим вероятность P_n(k_1,k_2, \dots, k_m) того, что при n испытаниях исход A_1 наступит ровно k_1 раз, исход A_2-k_2 раз и т.д., исход A_m произойдет k_m раз:

P_n(k_1,k_2, \dots, k_m)=\frac{n!}{k_1!k_2! \dots k_m!}p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_m^{k_m}

Данное выражение носит название формула полиномиального распределения.


ПРИМЕР 3. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

Решение

Вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/ 6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/ 6 . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других значения чисел равна:

P_{15}(10,3,2)=\frac{15!}{10!3!2!} \cdot \frac{1}{6^{10}} \cdot \frac{1}{6^3} \cdot (\frac {4}{6})^2 \thickapprox 1,022 \cdot 10^{-6}

ОТВЕТ. Вероятность выпадения десяти шестерок и трех единиц ничтожно мала и составляет примерно 0,0001022%

Ну вроде на этом можно пока закончить, далее будем рассматривать теоремы Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.

 

Теорема гипотез (Формула Байеса)

Данная тема очень простая, главное правильно понять формулу, а дальше по примерам научиться ей пользоваться.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) H_1, H_2,..,H_n. Вероятности этих гипотез известны и равны, соответственно, P(H_1), P(H_2),..., P(H_n). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие A.

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность P(A) \neq  0 для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей имеем:

P(A \cdot H_i)=P(A) \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n)

Отсюда,

P(A) \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n)

Разделим на P(A) \neq 0 левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим

P(H_i / A)=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{P(A)};i=(1, 2, ..., n)

Выражая P(A) с помощью формулы полной вероятности получим формулу Байеса:

P(H_i / A)=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(H_i) \cdot P(A/H_i)}; i=(1, 2, ..., n)


ПРИМЕР 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время t равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ:

Как мы видим из условия, возможны всего 2 гипотезы:

H_1 — прибор собран из высококачественных деталей;

H_2 — прибор собран из обычных деталей.

До проведения опыта вероятности этих гипотез равны P(H_1)=0,4; P(H_2)=0,6. Далее переходим уже к опыту и видим, что в результате наблюдалось событие А — прибор безотказно работал в течении времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах H_1 и H_2 соответственно равны P(A/H_1)=0,95;  P(A/H_2) = 0,7.

Теперь переходим непосредственно к формуле Байеса и находим условную вероятность первой гипотезы:

P(H_1/A)=\frac{0,4 \cdot 0,95}{0,4 \cdot 0,95 + 0,6 \cdot 0,7} = 0,475

ОТВЕТ: вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей равна 0,475 или 47,5%.


ПРИМЕР 2. В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар.

а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности.

б) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в из- влечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ:

а) Для испытания выскажем 4 попарно несовместимые и равновероятные гипотезы:

H_1 — в урне 3 белых шара;

H_2 — в урне 2 белых и 1 черный шар;

H_3 — в урне 2 белый и 2 черных шара;

H_3 — в урне 3 черных шара.

Вероятность каждого события равна 0,25 или 25%.

б) Так как по условию извлечен белый шар — событие А, то условные вероятности этого события соответственно равны:

P(A/H_4)=0; P(A/H_3)=1/3; P(A/H_2)=2/3; P(A/H_1)=1

Применим формулу Байеса и вычислим:

P(H_1/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{2};

P(H_2/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{3};

P(H_3/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{6};

P(H_4/A)=0.

ОТВЕТ: вероятность первой гипотезы — 0,5 или 50%, вероятность второй гипотезы — 1/3 или 33,33%, вероятность третьей гипотезы — 1/6 или 16,67%, четвертая гипотеза невозможна и ее вероятность равна нулю.


ПРИМЕР 3. Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ:

В данной задаче у нас 3 гипотезы, соответствующие выбору первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно будут равны:

P(H_1)=15/50; P(H_2)=10/50; P(H_3)=25/50

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события A — выбран правильно оформленный отчет.

P(A)=0,9 \cdot 15/50 + 0,8 \cdot 10/50 + 0,85 \cdot 25/50 = 0,855

Теперь применим формулу Баейса и вычислим вероятность второй гипотезы:

P(H_2/A)=\frac{0,2 \cdot 0,8}{0,855}=0,19

ОТВЕТ: вероятность того, что выбранный отчет принадлежит второй организации составляет 0,19 или 19%.


Как вы заметили в решении задач по формуле Байеса нет ничего сложного, главное правильно выбрать гипотезы, что обычно не вызывает затруднения.

В окончании хочу дополнить немного в тему.

Формула Байеса называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.

 

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0         (1)

есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию F(x, y), от которой полный дифференциал dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно записать в виде F(x, y) = C, где С — произвольная постоянная.

ПРИМЕР 1 Решить уравнение:

(2x+3x^2y)dx + (x^3-3y^2)dy = 0

Решение:

В первую очередь докажем, что данное тождество является уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем производные обоих слагаемых:

(2x+3x^2y)' = 3x^2

(x^3-3y^2)' = 3x^2

Так как производные равны, то данное уравнение является тем, что нам нужно. Поэтому переходим к решению.

Для начала найдем функцию F(x, y), полный дифференциал которой dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy был бы равен левой части исходного уравнения, т.е. такую функцию F, что

F'_x = 2x+3x^2y,\      F'_y = x^3-3y^2    (2)

Для этого интегрируем по x первое из уравнений (2), считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить \phi(y) — неизвестную функцию от y:

F=\int (2x+3x^2y)dx = x^3 + x^3y + \phi (y)

Подставляя это выражение для F во второй из уравнений (2) найдем \phi(y)

(x^3 + x^3y + \phi (y))'_y = x^3-3y^2;

\phi'(y)=-3y^2;

\phi(y)=-y^3 + const.

Следовательно, можно взять F(x, y) = x^2 + x^3y - y^3, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид

x^2 + x^3y - y^3=C

Ответ: x^2 + x^3y - y^3=C

Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения

M(x, y)dx + N(x, y)dy 0           (3)

называется такая функция m(x, y) \neq  0, после умножения на которую уравнение (3) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и N в уравнении (3) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (3) неизвестно).

Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:

d(x, y) = ydx + xdy,        d(y^2)=2ydy,

d(\frac{x}{y})=\frac{ydx-xdy}{y^2},        d(ln y)=\frac{dy}{y}   и т. д.

 ПРИМЕР 2. Решить уравнение

ydx - (4x^2y+x)dy=0

Решение:

В первую очередь, выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как ydx - xdy = -x^2d(\frac{x}{y}), то деля исходное уравнение на -x^2, имеем

d(\frac{y}{x}) + 4ydy=0,          d(\frac{y}{x})+d(2y^2)=0

Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосредственно, получаем решение:

\frac{y}{x}+2y^2=C

Кроме того, при делении на  -x^2 было потеряно решение x = 0

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

ydx-(x^3y+x)dy=0

Выделив полный дифференциал, как в предыдущем примере, получаем:

d(\frac{y}{x})+xydy = 0

Перейдя к переменным z=y/x и y, получим уравнение

dz+\frac{y^2}{z}dy=0,

которое очень просто решается.

Как вы видите в решении подобных уравнений никаких сложностей нет, достаточно просто вникнуть в тему и решить парочку примеров.

На этом все. Всем спасибо за внимание!