Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Условная вероятность. Независимость событий

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения.

Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A.

Задача №1

Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа очков. Стало известно, что произошло событие B, состоящее в выпадении числа очков меньше четырех. Определить вероятность события A при условии, что наступило событие B.

Решение:

Пространство элементарных исходов при бросании игральной кости определяется шестью исходами U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Известно, что произошло событие B, которому благоприятствуют три исхода U_1 = {1, 2, 3}. В этих условиях вероятность события А равна \dfrac{1}{3}, так как событию А благоприятствует исход {2} из U_1 = {1, 2, 3}.

Условная вероятность

Вероятность события А, найденная при условии, что событие В уже произошло называется условной вероятностью и обозначается:

P(A/B) или P_{B}(A)

Пример: Комплекс условий G — извлечение карт из колоды в 36 карт.

A = {извлечена карта треф}

В = {извлечен туз треф}

С = {извлечена дама пик}

P(A)=\dfrac{9}{36}          P(B)=\dfrac{1}{36}            P(C)=\dfrac{1}{36}

P_B(A)=1         P_A(B)=\dfrac{1}{9}            P_C(A)=0          P_A(C)=0

Свойства условных вероятностей 

  1. Всегда 0 ≤ P(A/B) ≤ 1, причем P(A/B) = 0, если А — невозможное событие, и P(A/B) = 1, если А ⊂ B (A включено в B)
  2. Если C = A∪B и A∩B = Ø, то для любого события D: P(A/D)+P(B/D)=P(C/D)
  3. Если \bar{A} — событие противоположное A, то P(A/B)=1-P(\bar{A}/B)

Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Если обе стороны равенства, определяемого формулой P(A/B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}, умножить на P(B), то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:

\boxed {\bf {P(AB)=P(B) \cdot P(A/B)}}

Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами A и B и использовать факт, что A∩B = B∩A, получаем следующее:

P(AB)=P(A) \cdot P(B/A)

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение P(A/B)=P(A) верно, то события A и B называются независимыми.

Если верно выражение P(A/B)P(A), то события A и B называются зависимыми.

Решение задач

Задача №2

Изучается качество техобслуживания, обеспечиваемое пятьюдесятью автомеханиками в определенном городе. Результаты изучения представлены в таблице.

Хорошее обслуживание Плохое обслуживание
Стаж работы более 10 лет 16 4
Стаж работы менее 10 лет 10 20

1. Какова вероятность, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили?

2. Если автомеханик случайно выбран и его стаж более 10 лет, то какова вероятность, что он хорошо обслуживает автомобили?

Решение: 

1. В данном случае объем выборочного пространства n=50. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомашины. Используя данные из таблицы, имеем m=26 Тогда вероятность события A

P(A)=\dfrac{26}{50}=0,52

2. Пусть событие B состоит в том, что выбранный механик имеет стаж более 10 лет. В данном случае объем выборочного пространства уменьшается, он равен сумме элементов первой строки: n=16+4=20. Число благоприятных для события исходов m=16, поэтому

P(A/B)=\dfrac{16}{20}=0,8

Ответ: вероятность того, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили равна 0,52 или 52%. Вероятность того, что автомеханик со стажем более 10 лет хорошо обслуживает автомобили равна 0,8 или 80%.

Задача №3

В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что выбранный случайным образом механик проработал менее 10 лет и хорошо обслуживает автомобили.

Решение:

Пусть D – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие C состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной вероятности P(C/D) используем формулу

P(C/D)=\dfrac{P(CD)}{P(D)}

Отсюда

P(C/D)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}

Ответ: вероятность равна примерно 0,3333… или 33,33%

Задача №4

В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события: A – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека.

Решение:

Вероятность события A равна 2/3. Если стало известно, что событие A произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события B становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие B зависит от события A.

P(A)=\dfrac{2}{3}; P(B/A)=\dfrac{1}{2}

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme