Условная вероятность. Независимость событий

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения.

Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A.

ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа очков. Стало известно, что произошло событие B, состоящее в выпадении числа очков меньше четырех. Определить вероятность события A при условии, что наступило событие B.

Решение. Пространство элементарных исходов при бросании игральной кости определяется шестью исходами U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Известно, что произошло событие B, которому благоприятствуют три исхода U_1 = {1, 2, 3}. В этих условиях вероятность события А равна \frac{1}{3}, так как событию А благоприятствует исход {2} из U_1 = {1, 2, 3}.

Условная вероятность

Определение. Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие B, называется отношение числа k тех благоприятствующих A исходов, которые и благоприятствуют B, к числу m всех исходов, благоприятствующих B.

Условная вероятность обозначается P(A|B)

По определению P(A|B)=\frac{k}{m}; если B — невозможное событие, то P(A|B) не определена.

Заметим, что P(A|B)=\frac{k/n}{m/n}, но P(AB)=\frac{k}{n}, P(B)=\frac{m}{n}.

Поэтому

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

Эта формула служит для определения условий вероятности в общем случае. Вероятности P(AB) и P(B) , называются безусловными.

Свойства условных вероятностей 

  1. Всегда 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, причем P(A|B) = 0, если А — невозможное событие, и P(A|B) = 1, если А ⊂ B (A включено в B)
  2. Если C = A∪B и A∩B = Ø, то для любого события D: P(A/D)+P(B/D)=P(C/D)
  3. Если \bar{A} — событие противоположное A, то P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)

ПРИМЕР 2. Изучается качество техобслуживания, обеспечиваемое пятьюдесятью автомеханиками в определенном городе. Результаты изучения представлены в таблице.

Хорошее обслуживание Плохое обслуживание
Стаж работы более 10 лет 16 4
Стаж работы менее 10 лет 10 20

1. Какова вероятность, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили?

2. Если автомеханик случайно выбран и его стаж более 10 лет, то какова вероятность, что он хорошо обслуживает автомобили?

Решение 

1. В данном случае объем выборочного пространства n=50. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомашины. Используя данные из таблицы, имеем m=26 Тогда вероятность события A

P(A)=\frac{26}{50}=0,52

2. Пусть событие B состоит в том, что выбранный механик имеет стаж более 10 лет. В данном случае объем выборочного пространства уменьшается, он равен сумме элементов первой строки: n=16+4=20. Число благоприятных для события исходов m=16, поэтому

P(A|B)=\frac{16}{20}=0,8

Ответ: вероятность того, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили равна 0,52 или 52%

Вероятность того, что автомеханик со стажем более 10 лет хорошо обслуживает автомобили равна 0,8 или 80%.

ПРИМЕР 3. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что выбранный случайным образом механик проработал менее 10 лет и хорошо обслуживает автомобили.

Решение. Пусть D – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие C состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной вероятности P(C|D) используем формулу

P(C|D)=\frac{P(CD}{P(D)}

Отсюда

P(C|D)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}

Ответ: вероятность равна примерно 0,3333… или 33,33%

Если обе стороны равенства, определяемого формулой P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, умножить на P(B), то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:

P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)

Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами A и B и использовать факт, что A∩B = B∩A, получаем следующее:

P(AB)=P(A) \cdot P(B|A)

Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

ПРИМЕР 4. Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события: A – появления герба на первой монете; B – появление герба на второй монете.

Решение. Очевидно, событие A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A независимо от события B.

ПРИМЕР 5. В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события: A – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека.

Решение. Вероятность события A равна 2/3. Если стало известно, что событие A произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события B становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие B зависит от события A.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место другое событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается: P(B/A).

Для ПРИМЕРА 5. P(A)=\frac{2}{3}; P(B/A)=\frac{1}{2}

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

P(A/B)=P(A)

верно, то события A и B называются независимыми.

Если верно выражение

P(A/B)P(A),

то события A и B называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится a белых и b черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события – независимые.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *