Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Обратная матрица

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Обратная матрица

Матрица A^T называется транспонированной к матрице A, если выполняется условие:

A_{ij}^T=A_{ji}, для всех i,j, где a_{ij} и a_{ji} — элементы матриц A и A^T соответственно.

Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами.

Пример №1 Транспонировать матрицу А

матрица А 25452

Как я написал выше, транспонировать матрицу, значит, записать строки столбцами, а столбцы строками, т.е. первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и т.д.

Получаем,

транспонировання матрица А

И на этом, все — ничего ведь сложного? правда?

Свойства транспонированной матрицы А:

  • (A^T)^T = A
  • (A+B)^T = A^T+B^T
  • (AB)^T = B^T*A^T

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если А — невырожденная матрица, то существует и при том единственная матрица A^{-1} такая, что

AA^{-1}=A^{-1}A = E, где

E — единичная матрица.

Матрица A^{-1} называется обратной к матрице А.

К большому сожалению найти обратную матрицу — это не значит поменять знаки на противоположные)) — это целый комплекс вычислений.

Мы с вами рассмотрим два основных метода решения обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы

Присоединенная (союзная) матрица A^V определяется, как транспонированная к матрице, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Справедливо равенство:

A^VA=AA^V=det A*E

⇒ если А — невырожденная матрица, то

A^{-1}=\frac{1}{det A}A^V

Пример №2 Найти обратную матрицу А

матрица А 559

В первую очередь, мы должны доказать, что матрица — невырожденная, а значит, вычислим определитель:

det A = 0+6+16-0-30+4 = -4 ≠ 0 — матрица невырожденная.

Теперь находим присоединенную матрицу, а здесь. ВНИМАНИЕ.

Чтобы найти первый член присоединенной матрицы, т.е. A^{(1,1)} нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец и найти определитель оставшейся части:

матрицыапва

Т.е. цифры над буквой А, обозначают не только место определителя в присоединенной матрице, но и какую строку и какой столбец нужно вычеркнуть из исходной, (1 цифра — строка, 2 цифра — столбец) и, конечно, определяют знак матрицы.

Для наглядности также распишу, как найти второй член A^{(1,2)}:

матриц 595

Теперь, я думаю, принцип вам понятен.

Для большего удобства предлагаю вам записывать результаты на листе, также как они строят в матрице:

A^{(1,1)} = 0+4 = 4 A^{(1,2)}= -(15-8) = -7 A^{(1,3)}= -6-0 = -6
A^{(2,1)}=-(10-2)=-8 A^{(2,2)}= 5+4 = 9 A^{(2,3)}= -(-2-8) = 10
A^{(3,1)} = 4-0 = 4 A^{(3,2)}= -(2+3) = -5 A^{(3,3)}= 0-6 = -6

    Собрав все полученные числа и расставив их по своим местам, получаем матрицу:

 матрица 7454

Но согласно определению, нам требуется транспонированная матрица, поэтому делаем это преобразование и получаем союзную матрицу:

союзная матрица

Ну и последний штрих, чтобы найти обратную матрицу нужно каждый член союзной матрицы разделить на определитель исходной матрицы (который мы находили в самом начале, т.е. на -4):

обратная матрица 87898обратная матрица

Это и будет наш ответ, при желании сделать проверку нужно перемножить главную матрицу на обратную и если в результате получается единичная матрица — то решение верное!

Метод элементарных преобразований

Данный метод еще называют методом Гаусса и мы будем его еще применять при решении систем линейных уравнений.

К элементарным преобразования относятся:

  1. перестановки строк (столбцов);
  2. умножение строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.

Пример №3 Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований

матрица 548989

Составляем расширенную матрицу [A|E]:

расширенная матрица 555415

Теперь наша задача состоит в том, чтобы первая часть матрицы (до черты) стала единичной, т.е. a_{11}, a_{22}, a_{33} принимают значение 1, а остальные значение 0.

Займемся первым столбцом

Число в первой строке нужно превратить в 1 для этого всю строку умножим на \frac{1}{3}.

Чтобы во второй строке получить 0 нужно из второй строки отнять первую строку, предварительно умноженную на \frac{4}{3}.

Чтобы в третьей строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{3}.

Все действия делаем от исходной расширенной матрицы, получаем:

45455

Первый столбец теперь соответствует единичной матрице, поэтому

Займемся вторым столбцом

Теперь мы работаем уже с полученной матрицей, после преобразований первого столбца.

Чтобы в первой строке получить 0 мы из первой строки отнимем вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{7}.

Чтобы во второй строке получить 1 мы домножим вторую строку на \frac{3}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 0 мы к третьей строке прибавим вторую строку, предварительно умноженную на \frac{1}{7}

Выполнив данные действия, получаем:

матрица преобр 2

Работаем дальше с третьим столбцом:

Чтобы в первой строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть первую строку, предварительно умножив на \frac{2}{3}.

Чтобы получить 0 во второй строке нужно к третьей строке прибавить вторую строку, предварительно умножив на \frac{1}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 1 нужно домножить третью строку на \frac{7}{24}.

Получаем:

матрица преобр 3

В первой части матрицы мы получили единичную матрицу, а вторая часть матрицы (после черты) и будет нашей обратной матрицей:

обратная мрица 4994

Оба способа нахождения обратной матрицы, довольно простые, если в них вникнуть, самое главное — не допустить ошибок в вычислениях, а остальное придет со временем.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme