Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Функции и их графики. Часть 1

Сегодня, на уроке, мы познакомимся с таким понятием, как функция и попробуем разобраться, что такое график функции и с чем его едят. Тема довольно важная, поэтому, чтобы не упустить никаких деталей я разделю эту тему на два урока.

Что такое функция

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. К примеру, площадь круга зависит от радиуса, площадь квадрата зависит от длины его стороны, а масса бруска зависит от его объема и плотности.

Так вот в ближайшие уроки мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Пример №1 Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна – a, а площадь квадрата равна S. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так например,

если a = 8 см, то S = 8^2=64см2;

если a=12 м, то S = 12^2=144 м2;

если a=0,3мм, то S=0,3^2 = 0,09 мм2

и так далее…

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой:

S=a^2,

где a – независимая переменная (задается произвольно), а S – зависимая переменная (получается в результате вычислений).


 

Пример №2 Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения автомобиля (t).

Обозначим время – t, а расстояние, пройденное автомобилем – s.

Например,

если t = 3 часа, то S = 50*3=150 км

если t = 1,2 часа, то S = 50*1,2 = 60км

и так далее…

В данном случае, зависимость переменной s, от переменной t выражается формулой:

s = 50t,

где t – независимая переменная, а s – зависимая переменная.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или просто функцией.

Вычисление значений функции по формуле

Функции, которые мы рассматривали выше, задавались различными способами. Наиболее распространенным способом является задание функции при помощи формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента, находить соответствующее значение функции путем преобразований и вычислений.

Пример №3

Пусть функция задана формулой y=\frac{4x+7}{3}, где  -2 ≤ x 2

Найдем значения функции для целых значений аргумента.

В нашем случае значения аргумента будут: -2, -1, 0, 1 и 2.

Чтобы найти значение функции для каждого значения аргумента нужно подставить все значения в нашу функцию,

т.е. при х = -2 имеем y=\frac{4*(-2)+7}{3} = \frac{-1}{3}

и так для всех оставшихся значений

Проще всего сделать таблицу:

x -2 -1 0 1 2
y -1/3 1 7/3 11/3 5

Мы составили таблицу значений функции с шагом – 1.  Здесь, в исходном примере была указана область определения функции, но бывает, что область определения D(y) не указывается вовсе, тогда мы принимаем за х все возможные значение, кроме тех, которые запрещены правилами. К счастью, вы знаете пока только одно правило «делить на ноль нельзя!», но есть и другие и о них вы узнаете позже. Чтобы было проще понять представим две функции:

y = 6(5x+4) и y = \frac{13+7x}{x-1}

Для первой функции область определения — вся числовая прямая, т.е. x может принимать абсолютно любое значение.

Для второй функции область определения — вся числовая прямая, кроме х = 1, при котором знаменатель обращается в ноль.

С помощью формулы можно найти и значение аргумента при заданном значении функции. Т.е. при известном y нужно будет найти неизвестное значение x.

На следующем уроке мы с вами научимся строить графики функций на плоскости.

Пример №4 Найти область определения функции

а) y=x^2+8

D(y) — вся числовая прямая

б) y= \frac{1}{x-1}

D(y) — вся числовая прямая, кроме x-1 = 0 ⇒ x = 1

в) y=\frac{4x-1}{5}

D(y) — вся числовая прямая

Здесь решать особо нечего можно и в уме просчитать все.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme