Операции над матрицами

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/

Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и вычисляются немного по-другому. И именно сегодня мы этим и займемся.

Матрицей размера m x n или (m x n)-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел a_{i,j}, i=1,2,3,...,m, j=1,2,...,n

матрица m x n

 

 

 

, состоящая из m-строк и n-столбцов

 

Сумма матриц

Суммой A+B (m x n)-матриц A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) называется матрица C=(c_{ij}) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и В.

Ну с этим все очень просто, а рассмотрев пример, вообще поймете, что делать нечего.

Пример №1 Вычислить сумму матриц A и В

матрица 1матрица 2

Делаем согласно правилу: складываем элементы матрицы А и соответствующие элементы матрицы В:

матрица 1+2

Все! Сумма матриц А и В найдена! Проще простого.

Произведение матрицы на число

Произведением αA матрицы A=(a_{ij}) на действительное или комплексное число α называется матрица B, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число α.

Как вы видите из определения, здесь также нет ничего сложного.

Пример №2 Найти произведение матрицы A на число -2.

матрица 1

Просто перемножаем каждое число матрицы А на число -2:

матрица 1х-2

Произведение матриц

Произведением АВ (m x n)-матрицы A=(a_{ij}) на (n x k)-матрицу B=(b_{ij}), называется (m x k)-матрица C=(c_{ij}), элемент которой (c_{ij}), стоящий в i-строке и j-столбце равен сумме произведений соответствующих элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В.

Понимаю, что в этом огромном определении вам мало, что понятно, но все таки попробуем разобраться.

Во-первых знайте: умножать матрицы можно только в том случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы!

Во-вторых знайте: переместительный закон умножения здесь не действует! Т.е. если матрицы поменять местами, то и результат изменится.

Ну а теперь давайте решим пример.

Пример №3 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

матрица 3матрица 4

Чтобы вам было проще и, чтобы вы не наделали глупых ошибок в вычислениях, советую сперва расписывать каждый элемент матрицы:

c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}= 4*2+(-4)*(-16) = 8+64 = 72

c_{12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = 4*(-10)+(-4)*0 = -40+0 = -40

c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = 3*2+7*(-16) = 6-112 = -106

c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = 3*(-10)+7*0 = -30

А теперь полученные числа, вписываем в матрицу, согласно координатам (ij):

матрица 34

Произведение матрицы найдено! Посложнее, конечно, но ничего поймете методику и вникните быстро).

Рассмотрим, теперь пример посложнее…

Пример №4 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

612

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b{21} +a_{13}b_{31} =5*7+(-3)*8+4*(-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b{22} +a_{13}b_{32} =5*(-3)+(-3)*(-5)+4*0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b{23} +a_{13}b_{33} = 5*1+(-3)*4+4*2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b{21} +a_{23}b_{31} = 6*7+1*8+0*(-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b{22} +a_{23}b_{32} = 6*(-3)+1*(-5)+0*0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b{23} +a_{23}b_{33} = 6*1+1*4+0*2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b{21} +a_{33}b_{31} = (-5)*7+4*8+(-1)*(-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b{22} +a_{33}b_{32} = (-5)*(-3)+4*(-5)+(-1)*0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b{23} +a_{33}b_{33} = (-5)*1+4*4+(-1)*2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

АВ

Возьмем немного сложнее пример дальше.

Пример №5 Вычислить 3А + ВС

матрица А 25452 матрица В 14785 матрица С 98752

Решаем это, как обычный пример, правда вместо слагаемых будут выступать матрицы.

1 действие: 3*А:

матрица 9954

2 действие: BC:

bc_{11} =b_{11}c_{11} +b_{12}c{21} +b_{13}c_{31} =1*(-2)+8*8+(-7)*(-4) = 90

bc_{12} =b_{11}c_{12} +b_{12}c{22} +b_{13}c_{32} =1*4+8*(-7)+(-7)*8 = -108

bc_{13} =b_{11}c_{13} +b_{12}c{23} +b_{13}c_{33} = 1*5+8*4+(-7)*0 = 37

bc_{21} =b_{21}c_{11} +b_{22}c{21} +b_{23}c_{31} = 2*(-2)+0*8+5*(-4) = -24

bc_{22} =b_{21}c_{12} +b_{22}c{22} +b_{23}c_{32} = 2*4+0*(-7)+5*8 = 48

bc_{23} =b_{21}c_{13} +b_{22}c{23} +b_{23}c_{33} = 2*5+0*4+5*0 = 10

bc_{31} =b_{31}c_{11} +b_{32}c{21} +b_{33}c_{31} = 4*(-2)+(-1)*8+9*(-4)= -52

bc_{32} =b_{31}c_{12} +b_{32}c{22} +b_{33}c_{32} = 4*4+(-1)*(-7)+9*8 = 95

bc_{33} =b_{31}c_{13} +b_{32}c{23} +b_{33}c_{33} = 4*5+(-1)*4+9*0 = 16

Вставляем полученные результаты в матрицу и получаем:

матрица 87485

Ну а теперь, выполняем последнее действие, а именно складываем матрицы 3А и ВС:

матрицы сложение 848484

На этой хорошей ноте всем спасибо)

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в заданиях, задавайте вопросы в комментариях.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *