Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Урок №4 Линейные уравнения первого порядка

Теоретическая часть

Уравнение

y'+a(x)y=b(x)           (1)

называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение

y'+a(x)y=0               (2)

(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для y, подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х).

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.

Пример №1 Привести уравнение y=(2x+y^3)y' к линейному виду.

Данное уравнение, в котором y является функцией от xнелинейное.

Запишем его в дифференциалах:

ydx-(2x+y^3)dy=0

Так как в это уравнение x и dx входят линейно, то уравнение будет линейным, если x считать искомой функцией, а y — независимым переменным.

Тогда уравнение можно представить в виде:

\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=y^2

И решается данное уравнение аналогично (1).

Пример №2 Решить уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли: y'+a(x)y = b(x)y^n, где n≠1.

Чтобы решить данное уравнение нужно обе части разделить на y^n, получаем:

\frac{y'}{y^n}+\frac{a(x)}{y^{n-1}}=b(x).

Далее делаем замену: \frac{1}{y^{n-1}}=z, получаем:

\frac{y'}{y^n}=\frac{z'}{1-n}

Теперь подставим это в выражение и получим:

\frac{z'}{1-n}+a(x)z=b(x).

Избавившись от знаменателя мы получаем линейное уравнение, которое решается аналогично (1).

Пример №3 Решить уравнение Риккати.

Уравнение Риккати имеет вид: y'+a(x)y+b(x)y^2=c(x)

Данное уравнение не решается в квадратурах.

Если же известно, одно частное решение y_1(x), то делается замена y=y_1(x)+z.

Выполнив замену, мы получаем уравнение Бернулли, о котором мы говорили в предыдущем примере.


Кстати, иногда частное решение можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего y).

Существуют и другие способы решения линейных уравнений первого порядка, но мы рассмотрели самые удобные и простые в расчетах.

Пример №4 Решить уравнение (2x+1)y'=4x+2y

В первую очередь решим соответствующее однородное уравнение (о том как они решаются можно посмотреть в предыдущем уроке):

(2x+1)y'=2y.

Общее решение нашего однородного уравнения имеет вид:

y=C(2x+1).

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной (то, о чем мы говорили в самом начале урока) и получаем:

(C'(2x+1)+2C)(2x+1)=4x+2C(2x+1)

или сделав преобразование получим:

(2x+1)^2C'=4x.

И отсюда находим С(х):

C(x) = 4∫\frac{xdx}{(2x+1)^2}+C_0 = ln|2x+1|+\frac{1}{2x+1}+C_0

И окончательный ответ:

y=(2x+1)(ln|2x+1|+C)+1

Пример №5 Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x2y’ + xy + x2y2 = 4.

Ищем частное решение в виде

y_1(x)=\frac{a}{x}, где a — постоянная.

Подставив частное решение в уравнение получаем:

-a+a+a^2=4.

Решив неполное квадратное уравнение, получаем

a_1=2 и a_2=-2

Пускай a = 2, тогда, произведя замену: \y=frac{2}{x}+{1}{z} получаем линейное уравнение:

x^2z'-5xz-x^2=0.

Проинтегрировав полученное уравнение, находим:

z=Cx^5-frac{x}{4}.

Следовательно общее решение уравнения принимает вид:

y=\frac{2}{x}+\frac{4}{Cx^5-x}

Частное решение y_1=\frac{2}{x} получается из общего при С = ∞.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme