Однородные уравнения

Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения.

Теоретическая часть

Однородные уравнения могут быть записаны в виде y'=f\frac{y}{x}, а также в виде M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену y=tx, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными, которые мы с вами научились вычислять на прошлом уроке.

Пример №1 Решить уравнение: xdy = (x+y)dx

Так как это однородное уравнение, то сделаем замену y=tx, тогда dy=xdt+tdx. Подставив это в наше уравнение, получим:

x(xdt+tdx) = (x+tx)dx;    xdt=dx

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, так давайте решим его теперь:

dt=\frac{dx}{x};   t = ln |x| + C

Делаем обратную замену:

y=x(ln|x|+C)

Кроме того, имеется решение x=0, которое было потеряно при делении на x.


 

Уравнение вида y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}) приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых ax+by+c=0 и a_1x+b_1y+c_1=0.

Если же эти прямые не пересекаются, то a_1x+b_1y=k(ax+by); следовательно. уравнение имеет вид y'=F(ax+by) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z=ax+by (или z=ax+by+c).

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой y=z^m. Число m обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену y=z^m . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число m если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному данным способом.

Пример №2 Определить можно ли привести уравнение к однородному виду.

Дано уравнение 2x^4yy'+y^4=4x^6 и нам нужно определить можно ли его привести к однородному виду и какую замену для этого нужно сделать.

После замены y=z^m уравнение принимает вид:

2mx^4z^{2m-1}z'+z^{4m} = 4x^6

Это уравнение будет однородным если его степени всех его членов равны между собой, т.е. 4+(2m-1)=4m=6.

Найдем при каком значении все три равенства удовлетворяются.

Во, первых проще всего найти m из двух последних значений:

4m=6, отсюда m=\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Значение m мы нашли, но будет ли оно удовлетворять первому значению, проверим, подставив значение:

4+(2m-1) = 4+(2*\frac{3}{2}-1) = 4+3-1 = 6

Все три равенства удовлетворяются, а значит, наше уравнение можно привести к однородному виду заменой y=z^{\frac{3}{2}}


 

C теорией на сегодня все, тема легкая и, думаю, что понятная, но на всякий случай решим еще один пример:

Пример №3 Решить уравнение: 2x^2y'=y^3+xy

Допустим x=z^m, тогда получим

2mx^2z^{m-1}z'=z^{3m}+xz^m, 2mx^2z^{m-1}dz-(z^{3m}+xz^m)dx=0

⇒ функции 2mx^2z^{m-1} и z^{3m}+xz^m однородны лишь при одном условии:

m+1=3m=m+1, т.е. при m=\frac{1}{2}

Таким образом, в случае y ≥ 0 делаем замену y=√z. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

x^2dz-(z+x)zdx=0

Делаем еще одну замену: z=xu(x) и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

xdu-u^2dx=0

Проинтегрировав его (не буду расписывать, надеюсь это вы умеете, если нет, то найдите урок про интегрирование функций) получаем:

\frac{1}{u}+ln|x| = C

Делаем обратную замену:

\frac{x}{y^2}+ln|x|=C

Решение уравнения y=0 входит в полученное семейство при C = ∞.

Пример №4 xy'=y-xe^{\frac{y}{x}}

Сделаем замену: y=tx, тогда y'=t+t'x, получаем:

x(t+t'x)=tx-xe^t

Раскроем скобки и упростим:

t'x^2=-xe^t

Запишем в дифференциалах:

\frac{xdt}{dx}=-e^t

e^{-t}dt=-\frac{dx}{x}

Продифференцировав, получаем:

-e^{-t}+ln|C|=-ln|x|

Упростим:

e^{-t}=lnCx

Найдем t:

t=-lnlnCx

Делаем обратную замену:

Ответ: y=tx=-xlnlnCx

Пример №5 (2x+y+1)dx-(4x+2y-3)dy=0

Найдем точки пересечения прямых, для этого решается система уравнений (надеюсь расписывать не нужно, если изучаете дифуры, то школьную базу вы и так должны знать).

Так вот решив систему уравнений, состоящую из двух уравнений 2x+y+1=0 и -(4x+2y-3) =0 мы выясняем, что точек пересечения нет, а если прямые не пересекаются, то вывод один — они параллельны и если построить график, то вы в этом убедитесь.

Так вот если прямые параллельны, то замену, которую мы проводили при решении примеров в параграфе мы не можем. Однако, в силу того, что коэффициенты y и x пропорциональны можем положить,что

z=2x+y

И тогда

dy=dz-2dx

и исходное уравнение принимает вид:

5(z-1)dx-(2x-3)dz=0

Интегрируя это уравнение получаем

Ответ:2x+y-1=Ce^{2y-x}

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно или не сходятся ответы, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *