Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Урок №3 Арифметическая и геометрическая прогрессия

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно!

Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность):

x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n,...

Кратко последовательность обозначают символом {x_n} или (x_n), число x_n называют членом или элементом этой последовательности, а n — номером члена x_n.

Последовательности обычно задаются формулами, при помощи которых можно вычислить каждый ее член по соответствующему номеру. Также последовательности задаются рекуррентными формулами, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность {a_n}, которая определяется рекуррентной формулой:

a_{n+1}=a_n+d,

где a_1 и d — заданный числа; число dразность арифметической прогрессии.

Для того чтобы найти n-ый член арифметической прогрессии используют формулу:

a_n=a_1+d(n-1)

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при k\ge 2 справедливо следующее равенство:

a_k=frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}

Сумму первых n-членов арифметической прогрессии находят по формуле:

S_n=frac{a_1+a_n}{2}*n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n

Пример №1 Найти седьмой член арифметической прогрессии: 13,4; 14,7;…

Чтобы решить данное задание, в первую очередь, найдем шаг (разницу) прогрессии, т.е. вычислим d:

d = a_2-a_1 = 14,7-13,4 = 1,3

А теперь, когда все данные известны, согласно формуле найдем седьмой член прогрессии:

a_7=a_1+d(7-1)=13,4+1,3(7-1) = 13,4+7,8 = 21,2

Ответ: седьмой член заданной арифметической прогрессии равен — 21,2

Пример №2 Вычислим сумму первых десяти четных чисел.

Можно, конечно, посчитать сумму чисел привычным для нас образом: 2+4+6+8+ и т.д. Но ведь не всегда в задачах такие простые условия, поэтому мы воспользуемся формулой суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Чтобы воспользоваться формулой нам нужно знать шаг и последний член прогрессии, поэтому вычисляем их:

d=4-2 = 2

a_10 = 2+2(10-1) = 20

Подставляем полученные данные в формулу:

S_{10} =frac{2+20}{2}10 = 11*10= 110

Ответ: сумма первых десяти четных чисел равна 110.

Ну, думаю, здесь хватит…

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность b_n, которая определяется рекуррентной формулой:

b_{n+1}=b_nq,

где b_1 и q — заданные числа, не равные нулю; qзнаменатель геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-ый член геометрической прогрессии используют формулу:

b_n=b_1q^{n-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов, т.е. при k\ge 2 справедливо следующее равенство:

b_k^2=b_{k-1}b_{k+1},

и сразу очевидно, что, для того чтобы найти b_k^2 нужно вычислить квадратный корень из b_{k-1}b_{k+1}.

Сумму первых n-членов геометрической прогрессии находят по формуле:

S_n={b_1-b_nq}{1-q} = b_1frac{1-q^n}{1-q}, если q≠1

Пример №3 Вычислить пятый член прогрессии: 1,5; 1,8; 2,16;…

Здесь сразу видно, что прогрессия геометрическая, потому что числа в ряду увеличиваются неровно, как в арифметической прогрессии.

Поэтому для вычисления нужно найти знаменатель q:

q=frac{b_2}{b_1}=frac{1,8}{1,5} = 1,2

Ну а теперь, вычислим пятый член прогрессии:

b_5=b_1q^4 = 1,5*1,2^4 = 1,5*2,0736 = 3,1104

Ответ: пятый член геометрической прогрессии — 3,1104

Пример №4 В геометрической прогрессии b(1)=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых трех членов прогрессии.

Здесь вообще все просто, у нас есть все данные, просто подставим их в формулу:

S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q} = 1,5frac{1-1,2^3}{1-1,2} = 1,5frac{1-1,728}{-0,2} = 1,5frac{-0,728}{-0,2} = 1,5*3,64 = 5,46

Ответ: сумма первых трех членов прогрессии — 5,46

 

Как вы видите, в принципе, особо сложного тут ничего нет, но бывает, что попадаются задачки запутанные, но на это не нужно обращать внимания, а просто «разматывать ниточки» и искать решение.

 

Если у вас остаются вопросы по теории или по практической части смело задавайте их в комментариях.

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme