Уравнения с разделяющимися переменными

На прошлом занятии мы научились составлять дифференциальные уравнения кривых. О том, как вы усвоили данный материал мы узнаем в конце этого урока, когда проверим заданные вам задания, а сейчас новая тема.

Уравнения с разделяющимися переменными

На самом деле теории совсем чуть-чуть, по большей части мы все-таки займемся практической частью.

Итак, уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде:

y' = f(x)g(y)                (1)

или

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0       (2)

Чтобы решить подобные уравнения необходимо обе части разделить или умножить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только х, а в другую часть — только y. После производится интегрирование обоих частей.

При делении обоих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример №1 Решить уравнение: x^2y^2y'+1=y

В первую очередь приведем наше уравнение к виду (2), а для этого сперва распишем y’ по формуле \frac{dy}{dx}, а цифру 1 перенесем в правую часть:

x^2y^2\frac{dy}{dx} = y-1

А теперь уже приводим наше выражение к общему виду:

x^2y^2dy=(y-1)dx

А теперь нужно разделить обе части на такое выражение, чтобы слева остались значения только с y, а справа только с х.

Рассуждаем…

Чтобы избавиться в левой части от x^2, нужно эту часть и разделить на  x^2,

а чтобы избавиться от y-1 в правой части нужно его и разделить на y-1.

Получаем выражение: x^2(y-1) — делим на него обе части уравнения:

\frac{y^2}{y-1}dy=\frac{dx}{x^2}

Теперь мы получили идеальное уравнение для интегрирования:

\int{\frac{y^2}{y-1}dy}=\int{\frac{dx}{x^2}}

Получаем:

\frac{y^2}{2}+y+ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C

При делении на  x^2(y-1) могли быть потеряны решения при x=0 и y-1=0, т.е. y=1. Сразу очевидно, что y=1 — решение уравнения, а x=0 — нет.

Если остались вопросы — завадайте их в комментариях.

Дополнительно

Уравнения вида

y'=f(ax+by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z=ax+by+c, где с — любое число.

На этом думаю можно и закончить, тема достаточно простая и будет понятна всем, кто знаком с интегрированием.

Пример №2 y'-xy^2=2xy

\frac{dy}{dx}-xy^2-2xy=0

dy-(xy^2+2xy)dx=0

dy-xy(y+2)dx=0

\frac{dy}{y(y+2)}-xdx=0

\frac{1}{2}(\frac{dy}{y}-\frac{dy}{y+2}-xdx=0

\frac{1}{2}ln|y|+\frac{1}{2}ln|y+2|-\frac{1}{2}x^2=0

x^2=ln|\frac{y+2}{y}|+C

В ответ можно не включать решение y = -2, потому что оно входит в серию решений y(Ce^{-x^2}-1)=2, при С=0

Ответ: y = 0, y = 2

Пример №3 y'=cos(y-x)

Получаем z=y-x, получим:

\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}-1

Исходное уравнение принимает вид:

\frac{dz}{cosz-1}=dx

Интегрируя получаем:

x-ctg\frac{z}{2}=C, или x-ctg\frac{y-x}{2}=C

К этим решения также следует прибавить потерянные решения z = 2kπ, k ∈ Z.

 

На этом все) Всем спасибо!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

 

 

 

2 комментария: Уравнения с разделяющимися переменными

  • Уведомление: Линейные уравнения первого порядка | Высшая математика - легко и просто

  • abookz.net говорит:

    Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях. Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *