Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения с разделяющимися переменными

На самом деле теории совсем чуть-чуть, по большей части мы все-таки займемся практической частью.

Итак, уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в двух видах:

y' = f(x) \cdot g(y)

либо:

M(x) \cdot N(y) \, dx+P(x) \cdot Q(y) \,dy=0

Чтобы решить подобные уравнения необходимо обе части разделить или умножить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только х, а в другую часть — только y. После производится интегрирование обоих частей.

При делении обоих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Уравнения вида y'=f(ax+by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z=ax+by+c, где с — любое число.

Решение задач

Задача №1

Решить уравнение: x^2y^2y'+1=y

Решение:

В первую очередь приведем наше уравнение к стандартному виду, а для этого сперва распишем y' по формуле \frac{dy}{dx}, а цифру 1 перенесем в правую часть:

x^2y^2\dfrac{dy}{dx} = y-1

А теперь уже приводим наше выражение к общему виду:

x^2y^2dy=(y-1)dx

Далее нужно разделить обе части на такое выражение, чтобы слева остались значения только с y, а справа только с х.

Рассуждаем…

Чтобы избавиться в левой части от x^2, нужно эту часть и разделить на  x^2,

а чтобы избавиться от y-1 в правой части нужно его и разделить на y-1.

Получаем выражение: x^2(y-1) — делим на него обе части уравнения:

\dfrac{y^2}{y-1}dy=\dfrac{dx}{x^2}

Теперь мы получили идеальное уравнение для интегрирования:

\int\limit{\dfrac{y^2}{y-1}dy}=\int\limit{\dfrac{dx}{x^2}}

Получаем:

\dfrac{y^2}{2}+y+ln \,|y-1|=-\dfrac{1}{x}+C

При делении на  x^2(y-1) могли быть потеряны решения при x=0 и y-1=0, т.е. y=1. Сразу очевидно, что y=1 — решение уравнения, а x=0 — нет.

Задача №2

Решить уравнение: y'-xy^2=2xy

Решение:

\dfrac{dy}{dx}-xy^2-2xy=0

dy-(xy^2+2xy)dx=0

dy-xy(y+2)dx=0

\dfrac{dy}{y(y+2)}-xdx=0

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{dy}{y}-\dfrac{dy}{y+2}-xdx=0

\dfrac{1}{2}ln|y|+\dfrac{1}{2}ln|y+2|-\dfrac{1}{2}x^2=0

x^2=ln|\dfrac{y+2}{y}|+C

В ответ можно не включать решение y = -2, потому что оно входит в серию решений y(Ce^{-x^2}-1)=2, при С=0

Задача №3

Решить уравнение: y'=cos(y-x)

Решение:

Получаем z=y-x, получим:

\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}-1

Исходное уравнение принимает вид:

\frac{dz}{cosz-1}=dx

Интегрируя получаем:

x-ctg\frac{z}{2}=C, или x-ctg\frac{y-x}{2}=C

К этим решения также следует прибавить потерянные решения z = 2kπ, k ∈ Z.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme