Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

\phi (x, y, C_1, ... , C_n)

необходимо продифференцировать данное равенство n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и исходного уравнения исключить произвольные постоянные C_1 \cdots C_n.

Изогональные траекторииЛинии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями. Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением: \beta = \alpha \pm \phi.

Пусть

y' = f (x,y) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

y' = f_1 (x,y) — уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg \, \alpha = f(x,y); \; tg \, \beta = f_1(x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg \, \beta не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

F (x,y,y') = 0,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y', в этом случае будет достаточно y' заменить на tg \, \alpha = tg \, (\beta \pm \phi), где tg \, \beta = y'угловой коэффициент касательной к траектории.

Решение задач

Задача №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: C_1x+(y-C_2)^2 = 0

Решение:

Так как уравнение содержит два параметра (С1 и С2), то и дифференцировать будем два раза. Производная находится по общим правилам, только нужно учесть, что х — переменная, а вот y — функция.

  • Первая производная: C_1+ 2(y - C_2)y' = 0
  • Вторая производная: 2(y')^2+ 2(y - C_2)y'' = 0

Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С1 , а для этого выведем его из уравнения первой производной C_1 = -2(y-C_2) \cdot y' и подставим полученное равенство в исходное уравнение, указанное в условии вместо C_1

-2y'(y - C_2)x + (y - C_2)^2 = 0

Теперь также нужно избавиться от параметра C2, а для этого выведем ее из второй производной, но чтобы было проще мы выведем не C_2, а y- C_2 и получаем: y-C_2=\dfrac{-(y')^2}{y''} и теперь подставим это в ответ, который мы получили, когда избавились от C_1:

-2xy' \left(\dfrac{-(y')^2}{y''} \right)+ \left(\dfrac{-(y')^2}{y''} \right)^2 = 0

Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

y' + 2xy'' = 0

Ответ: y' + 2xy'' = 0

Задача №2

Для закрепления составим еще одно уравнение: y = ax^3 + bx^2 + cx

Решение:

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С1 и С2 здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду,  думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная: y' = 3ax^2 + 2bx + c,   где c = y' - 3ax^2 - 2bx

Вторая производная: y'' = 6ax + 2b,     где b = \dfrac{y'' - 6ax}{2}

Третья производная: y''' = 6a,    где a = \dfrac{y'''}{6}

y = ax^3 + bx^2 + (y' - 3ax^2 - 2bx)x

y = ax^3 + bx^2 + xy' - 3ax^3 - 2bx^2

y = -2ax^3 - bx^2 + xy'

y = -2ax^3 - x^2(\dfrac{y'' - 6ax}{2}) + xy'

y = -2ax^3 - \dfrac{x^2y'' + 6ax^3}{2} + xy'

2y = 2ax^3 - x^2y'' + xy'

2y = 2x^3 \cdot  \dfrac{y'''}{6} - x^2y'' + xy'

6y = x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy'

Ответ: x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy' - 6y = 0

Задача №3

Задание идентичное предыдущим: ln \, y = ax+by

Решение:

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: \dfrac{y'}{y}=a+by', где a = \dfrac{y'-byy'}{y}

Вторая производная: \dfrac{y''y-(y')^2}{y^2}=by'', где b=y''y-\dfrac{(y')^2}{y''y^2}

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

a = \dfrac{y'-byy'}{y}=\dfrac{y'}{y}-\dfrac{yy'(y''y-(y')^2)}{y''y^3}=\dfrac{(y')^3}{y''y^2}

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

ln \, y = \dfrac{(y')^3}{y''y^2}x+y''y-\dfrac{(y')^2}{y''y^2}y

y''y^2 \cdot ln \, y = xy'^3+y''y^2-(y')^2y

y''y^2(ln \, (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)

Ответy''y^2(ln \, (y)-1) = ((y')^2)(y'x-y)

Задача №4

Составить диф. уравнение семейства кривых: y = sin(x+C)

Решение:

Ну а здесь все еще проще:

Найдем производную: y'=cos(x+C)

Возведем обе части уравнения в квадрат: (y')^2=cos^2(x+C)

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения: 1-(y')^2=1-cos^2(x+C)=sin^2(x+C)

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно: sin^2(x+C)=y^2

И, следовательно, 1-(y')^2=y^2

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ: (y')^2+y^2=1

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

 

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme