Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Определители 2-го и 3-го порядков

Начнем с того, что матрица — это математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов (числа, буквенные значения и т.д.)

Теперь вкратце пробежимся по теории.

Матрица 2-го порядка

1

 

, cоставленная из четырех действительных (или комплексных) чисел называется  квадратной матрицей 2-го порядка.

 

Определителем матрицы А, называется число

det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}

 


Пример № 1

Найдите определитель матрицы:

9

Как вы поняли из теории, чтобы найти определитель матрицы 2-го порядка достаточно найти разность произведений чисел, представленных крест-накрест:

10

 

= 3*2 — 5*(-1) = 6 — (-5) = 6 + 5 = 11

 


Матрица 3-го порядка

3

 

— квадратная матрица 3-го порядка

 

 

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число

4

 

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 – (a31a22a13 + a21a12a33 +a32a23a11)

 

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса (правило звездочки):

звездочка

Кстати, есть небольшая хитрость в этом правиле для тех, кто боится запутаться. Заключается она в том, что нужно первые два столбца матрицы переписать за правую скобку и вы увидите, что вычислять определитель станет намного проще.

определитель (хитрость)

Сперва работаете с тремя красными линиями (находите сумму произведений трех линий), а после работаете с синими линиями (также находите сумму произведений, но уже синих линий). И в конце от суммы красных вычитаете сумму синих. Вот и ваш ответ. Попробуйте, это реально проще. Но я не ищу легких путей, поэтому, в основном, буду работать именно с правилом Саррюса, но вам сперва советую пользоваться данной хитростью.

 

Ну и теперь, наконец, переходим на свойства определителей 3-го порядка:

  1. Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится.
  2. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  3. Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак, в частности, если две строки (столбца) равны, то он равен нулю.

Ну и теперь переходим к практической части.


Пример №2

Доказать первое свойство определителей 3-го порядка.

Возьмем любую матрицу третьего порядка, допустим:

6

Для начала найдем определитель данной матрицы, для этого используем «правило звездочки»

7

 

= 5*1*(-1) + 6*4*4 + -5*(-3)*0 — ((-5)*1*4 + 6*(-3)*(-1) + 5*0*4) = -5 + 96 + 0 — (-20 + 18 + + 0) = 91 — (-2) = 93

 

Итак, определитель матрицы равен 93 (внимательно следите за цифрами, которые используете). Перед тем как привыкните советую вам простым карандашом выделять линиями те цифры, которые уже использовали. И не забывайте смотреть на схему правила Саррюса, представленную в теоретической части.

Решаем далее…

Сейчас нам необходимо транспонировать матрицу, а значит, переписать матрицу, меняя строки столбцами, а столбцы строками — здесь нет ничего сложного (берете первые три цифры из строки и записываете их в столбик и так далее).

8

 

Разобрались?  Ничего ведь сложного, правда?

 

Теперь, также найдем определитель транспонированной матрицы:

8

 

= 5*1*(-1) + (-3)*0*(-5) + 4*6*4 — (4*1*(-5) + (-3)*6*(-1) + 0*4*5) = -5 + 0 + 96 — (-20 + 18 + 0) = 91 — (-2) = 93

 

А теперь сравните определитель матрицы A и определитель транспонированной матрицы AT

В обоих случаях получилось 93, а значит свойство доказано!!!


Пример №3 Вычислить определитель

11

 

= 7 * 4 — 1 * (-3) = 28 + 3 = 31

 

 

Пример №4

определитель матрицы (2)

 

= 7 * (-5) * 2 + 8 * 0 * 1 + (-3) * (-3) * 4 — (-3) * (-5) * 1 — 8 * (-3) * 2 — 0 * 4 * 7 = -70 +0 + 36 -15 + 48 — 0 = -1

 

 

На этом наш первый урок подходит к концу. После его изучения вы должны были научиться находить определители матрицы 2-го и 3-го порядка, а также научились транспонировать матрицу.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme