Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Определители 2-го и 3-го порядков

Начнем с того, что матрица — это математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов (числа, буквенные значения и т.д.)

Теперь вкратце пробежимся по теории.

Матрица 2-го порядка

A = \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}, cоставленная из четырех действительных (или комплексных) чисел называется  квадратной матрицей 2-го порядка.

Определитель матрицы обозначается, как det \, A или \bar A

Чтобы найти определитель матрицы второго порядка необходимо найти разность от произведений диагоналей матрицы. По-русски говоря, сначала умножаете два числа на одной диагонали, а потом также умножаете два числа на другой диагонали и находите разность от этих чисел:

det \, A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}

Матрица 3-го порядка

A =\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} — квадратная матрица 3-го порядка

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число

\begin{eqnarray*} det \, A =\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{21} \cdot a_{32} \cdot a_{13} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} - \nonember \\ - (a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} + a_{21} \cdot a_{12} \cdot a_{33} + a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11}) \end {eqnarray*}

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса (правило звездочки):

звездочка

Кстати, есть небольшая хитрость в этом правиле для тех, кто боится запутаться. Заключается она в том, что нужно первые два столбца матрицы переписать за правую скобку и вы увидите, что вычислять определитель станет намного проще.

определитель (хитрость)

Сперва работаете с тремя красными линиями (находите сумму произведений трех линий), а после работаете с синими линиями (также находите сумму произведений, но уже синих линий). И в конце от суммы красных вычитаете сумму синих. Вот и ваш ответ. Попробуйте, это реально проще. Но я не ищу легких путей, поэтому, в основном, буду работать именно с правилом Саррюса, но вам сперва советую пользоваться данной хитростью.

Ну и теперь, наконец, переходим на свойства определителей 3-го порядка:

  1. Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится.
  2. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  3. Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак, в частности, если две строки (столбца) равны, то он равен нулю.

Ну и теперь переходим к практической части.

Решение задач

Задача №1

Найдите определитель матрицы: A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2}\end{bmatrix}

Решение:

Как вы поняли из теории, чтобы найти определитель матрицы 2-го порядка достаточно найти разность произведений чисел, представленных крест-накрест:

det \, A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2}\end{bmatrix} = 3 \cdot 2 - 5 \cdot (-1) = 6 - (-5) = 11

Задача №2

Доказать первое свойство определителей 3-го порядка.

Решение:

Возьмем любую матрицу третьего порядка, допустим:

A =\begin{bmatrix}5 & -3 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}

 

Для начала найдем определитель данной матрицы, для этого используем «правило звездочки»

\begin{eqnarray*}  \bar A =\begin{vmatrix}5 & -3 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 \cdot (-1) + 6 \cdot 4 \cdot 4 + (-5) \cdot (-3) \cdot 0 - ((-5) \cdot 1 \cdot \nonember \\ \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) + 5 \cdot 0 \cdot 4) = -5 + 96 + 0 - \nonember \\ - (-20 + 18 + 0) = 91 - (-2) = 93 \end {eqnarray*}

Итак, определитель матрицы равен 93 (внимательно следите за цифрами, которые используете). Перед тем как привыкните советую вам простым карандашом выделять линиями те цифры, которые уже использовали. И не забывайте смотреть на схему правила Саррюса, представленную в теоретической части.

Решаем далее…

Сейчас нам необходимо транспонировать матрицу, а значит, переписать матрицу, меняя строки столбцами, а столбцы строками — здесь нет ничего сложного (берете первые три цифры из строки и записываете их в столбик и так далее).

A^T =\begin{bmatrix} 5 & 6 & -5 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -1 \end{bmatrix}

Теперь, также найдем определитель транспонированной матрицы:

\begin{eqnarray*}  \bar A^T =\begin{vmatrix} 5 & 6 & -5 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -1  \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 0 \cdot (-5) + 4 \cdot 6 \cdot 4 - \nonember \\ - (4 \cdot 1 \cdot (-5) + (-3) \cdot 6 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \cdot 5) =\nonember \\  = -5 + 0 + 96 - (-20 + 18 + 0) = \nonember \\ = 91 - (-2) = 93 \end {eqnarray*}

А теперь сравните определитель матрицы A и определитель транспонированной матрицы AT

В обоих случаях получилось 93, а значит свойство доказано!!!

Задача №3

Вычислить определитель матрицы 3-го порядка.

\begin{eqnarray*}  \bar B =\begin{vmatrix} 7 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 4 \\ -3 & 0 & 2  \end{vmatrix} = 7 \cdot (-5) \cdot 2 + 8 \cdot 0 \cdot 1 + (-3) \cdot (-3) \cdot 4 - \nonember \\ - ((-3) \cdot (-5) \cdot 1 + 8 \cdot (-3) \cdot 2 + 0 \cdot 4 \cdot 7) =\nonember \\  = -70 + 0 + 36 - 15 + 48 - 0 = -1 \end {eqnarray*}

 

На этом наш первый урок подходит к концу. После его изучения вы должны были научиться находить определители матрицы 2-го и 3-го порядка, а также научились транспонировать матрицу.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme