Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0         (1)

есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию F(x, y), от которой полный дифференциал dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно записать в виде F(x, y) = C, где С — произвольная постоянная.

ПРИМЕР 1 Решить уравнение:

(2x+3x^2y)dx + (x^3-3y^2)dy = 0

Решение:

В первую очередь докажем, что данное тождество является уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем производные обоих слагаемых:

(2x+3x^2y)' = 3x^2

(x^3-3y^2)' = 3x^2

Так как производные равны, то данное уравнение является тем, что нам нужно. Поэтому переходим к решению.

Для начала найдем функцию F(x, y), полный дифференциал которой dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy был бы равен левой части исходного уравнения, т.е. такую функцию F, что

F'_x = 2x+3x^2y,\      F'_y = x^3-3y^2    (2)

Для этого интегрируем по x первое из уравнений (2), считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить \phi(y) — неизвестную функцию от y:

F=\int (2x+3x^2y)dx = x^3 + x^3y + \phi (y)

Подставляя это выражение для F во второй из уравнений (2) найдем \phi(y)

(x^3 + x^3y + \phi (y))'_y = x^3-3y^2;

\phi'(y)=-3y^2;

\phi(y)=-y^3 + const.

Следовательно, можно взять F(x, y) = x^2 + x^3y - y^3, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид

x^2 + x^3y - y^3=C

Ответ: x^2 + x^3y - y^3=C

Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения

M(x, y)dx + N(x, y)dy 0           (3)

называется такая функция m(x, y) \neq  0, после умножения на которую уравнение (3) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и N в уравнении (3) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (3) неизвестно).

Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:

d(x, y) = ydx + xdy,        d(y^2)=2ydy,

d(\frac{x}{y})=\frac{ydx-xdy}{y^2},        d(ln y)=\frac{dy}{y}   и т. д.

 ПРИМЕР 2. Решить уравнение

ydx - (4x^2y+x)dy=0

Решение:

В первую очередь, выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как ydx - xdy = -x^2d(\frac{x}{y}), то деля исходное уравнение на -x^2, имеем

d(\frac{y}{x}) + 4ydy=0,          d(\frac{y}{x})+d(2y^2)=0

Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосредственно, получаем решение:

\frac{y}{x}+2y^2=C

Кроме того, при делении на  -x^2 было потеряно решение x = 0

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

ydx-(x^3y+x)dy=0

Выделив полный дифференциал, как в предыдущем примере, получаем:

d(\frac{y}{x})+xydy = 0

Перейдя к переменным z=y/x и y, получим уравнение

dz+\frac{y^2}{z}dy=0,

которое очень просто решается.

Как вы видите в решении подобных уравнений никаких сложностей нет, достаточно просто вникнуть в тему и решить парочку примеров.

На этом все. Всем спасибо за внимание!

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme