Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Тригонометрические функции числового аргумента

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число \sin\; t. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение \sin\; t, нужно:

  1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
  2. на окружности найти точку, соответствующую числу t;
  3. найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть искомое \sin\; t.

Фактически речь идет о функции s = \sin\; t, где t — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, \sin\; 0 = 0, \sin\; \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: s=\cos\; t, s = \tan\; t, s=\cot\; t. Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из все тригонометрии — это основное тригонометрическое тождество:

\boxed {\sin^2\; t + \cos^2 \; t = 1}

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}

\boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \not= \pi k}

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \not= \frac{\pi k}{2}}

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) 1+ \tan^2 \; t, б) 1+ \cot^2 \; t

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}

Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:

1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

 \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:
1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}


б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \not= \frac{\pi}{2}+ \pi k}

\boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \not= \pi k}

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme