Теорема умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

Доказательство

Предположим, что из n всевозможных элементарных исходов событию A благоприятствуют m исходов, из которых k исходов благоприятствуют событию B. Тогда вероятность события A будет P(A)=m/n, условная вероятность события B относительно события A равна P(B/A)=k/m.

Произведению событий A и B благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию A, и событию B одновременно, то есть k исходов. Поэтому вероятность произведения событий A и B равна P(AB)=k/n. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на m, получим

P(AB)=mk/mn=(m/n) \cdot (k/m)=P(A) \cdot P(B/A)

Аналогично можно показать, что P(AB)=P(B)P(A/B).

Следствия

Следствие 1. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A.

Доказательство. Согласно условию, событие A не зависит от события B, тогда с учетом условия зависимости и независимости получим P(A/B)=P(A). Теперь подставим это уравнение в формулу из теоремы умножения вероятностей и получим:

P(A) \cdot P(B/A) = P(B) \cdot P(A)

Разделив левую и правую часть уравнения на P(A) ≠ 0, получим:

P(B/A) = P(B)

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot ... \cdot A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot ... \cdot P(A_k)

Следствие доказано.

Теперь давайте решим немного примеров, чтобы было более понятно, как употреблять данную теорему и следствия на практике.

ПРИМЕР 6. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равны: p_1=0,8, p_2=0,9, p_3=0,7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время t?

Решение. Обозначим события:

A — безотказная работа прибора;

A_1 — безотказная работа первого узла;

A_2 — безотказная работа второго узла;

A_3 — безотказная работа третьего узла. Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов: A=A_1 \cdot A_2 \cdot A_3.

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим

P(A)=P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,8 \cdot 0,9 \cdot 0,7 = 0,504

Ответ: вероятность безотказной работы прибора равна 0,504 или 50,4%.

ПРИМЕР 7. Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

Решение. Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие A — «в первый раз вынут «неудачный» билет», B — во второй раз вынут «удачный» билет. Очевидно, что события A и B зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события A∩B . По формуле умножения вероятностей:

P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B/A);

P(A)=4/34; P(B/A)=30/33, тогда P(A \bigcap B)=\frac{4 \cdot 30}{34 \cdot 33} \approx 0,107.

Ответ: вероятность того, что студент сдаст экзамен равна 0,107 или 10,7%.

На этом думаю можно закончить, тема не сложная, главное все внимательно изучить.

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

2 комментария: Теорема умножения вероятностей

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *