Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Теорема сложения вероятностей совместных событий

На прошлом уроке мы рассмотрели теорему сложения вероятностей только для несовместных событий. В случае, когда два события A и B – совместны, справедлива следующая теорема.

Теорема

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

\boxed {\bf {P(A+B)=P(A)-P(B)-P(AB)}}

Доказательство

Событие A+B наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: A\bar{B}, \bar{A}B, AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

P(A+B)=P(A\bar{B})-P(\bar{A}B)+P(AB)     (2)

Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: A\bar{B}, AB. Вновь применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем P(A)=P(A\bar{B})+P(AB), откуда

P(A\bar{B})=P(A)-P(AB).     (3)

Аналогично для события B: P(B)=P(\bar{A}B)+P(AB), откуда

P(\bar{A}B)=P(B)-P(AB)      (4)

Теперь подставим (3) и (4) в формулу (2), отсюда получаем формулу сложения вероятностей совместных событий (1).

Как вы уже поняли формула, которую я дал вам на прошлом уроке это лишь частный случай формулы (1). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность суммы трех совместных событий

Аналогично выражению (1) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)    (5)

Кстати, справедливость формул (1) и (5) можно наглядно проиллюстрировать:

сложение вероятностей (рисунок к формулам)

Также из выражения (1) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Выходит:

\boxed {\bf {P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)}}          (6)

Решение задач

Задача №1

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение:

Обозначим события: A — появление шестерки на первой кости, B — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (1). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а для вычисления числа всех равновозможных комбинаций используем правило произведения (комбинаторика):

P(A+B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{36}

б) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

P(A+B)=1-P\bar{(A+B)}=1-P(\bar{A} \cdot \bar{B})=1-\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{11}{36}

Ответ: вероятность появления хоть одной шестерки равна 11/36 или 0,3056 или 30,56%

Задача №2

Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама, король)?

Решение:

А = {извлекается фигура любой масти}

В = {извлекается карта пиковой масти}

Фигуры — валет, дама, король и туз, причем каждая фигура может быть одной из четырех мастей. Всего фигур получается 16 штук.

P(A)=\dfrac{C_{16}^1 \cdot C_{36}^0}{C_{52}^{1}}=\dfrac{\dfrac{16!}{15!}}{\dfrac{52!}{51!}}=\dfrac{16}{52}

Но в данной задаче подобные вычисления проводить не обязательно, ведь всего карт 52, а нужных нам фигур — 16. Следовательно, вероятность будет 16/52.

P(B)=\dfrac{13}{52}

События являются совместными, потому что может выпасть, допустим карта — дама пик, а она относится к обоим событиям, следовательно, нужно вычесть эти двойные события из суммы вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{16}{52}+\dfrac{13}{52}-(\dfrac{16}{52} \cdot \dfrac{13}{52})=0,48.

Ответ: вероятность извлечения фигуры любой масти или карты пиковой масти 0,48 или 48%.

Задачи на сложение решаются очень просто, нужно только правильно определить совместное событие или несовместное, с чем тоже не возникает проблем, если правильно прочитать условие задачи. И конечно, помните, сложение применяется в тех случаях, когда используются союза «или» и «либо … либо ..,».

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme