Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Теорема сложения вероятностей совместных событий

На прошлом уроке мы рассмотрели теорему сложения вероятностей только для несовместных событий. В случае, когда два события A и B – совместны, справедлива следующая теорема.

Теорема

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)-P(B)-P(AB)    (1)

Доказательство

Событие A+B наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: A\bar{B}, \bar{A}B, AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

P(A+B)=P(A\bar{B})-P(\bar{A}B)+P(AB)     (2)

Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: A\bar{B}, AB. Вновь применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем P(A)=P(A\bar{B})+P(AB), откуда

P(A\bar{B})=P(A)-P(AB).     (3)

Аналогично для события B: P(B)=P(\bar{A}B)+P(AB), откуда

P(\bar{A}B)=P(B)-P(AB)      (4)

Теперь подставим (3) и (4) в формулу (2), отсюда получаем формулу сложения вероятностей совместных событий (1).

Как вы уже поняли формула, которую я дал вам на прошлом уроке это лишь частный случай формулы (1). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность суммы трех совместных событий

Аналогично выражению (1) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)    (5)

Кстати, справедливость формул (1) и (5) можно наглядно проиллюстрировать:

сложение вероятностей (рисунок к формулам)

Также из выражения (1) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Выходит:

P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)      (6)

ПРИМЕР 1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Обозначим события: A — появление шестерки на первой кости, B — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (1). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а для вычисления числа всех равновозможных комбинаций используем правило произведения (комбинаторика):

P(A+B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{11}{36}

б) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

P(A+B)=1-P(\bar{A+B})=1-P(\bar{A}*\bar{B})=1-\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}

Ответ: вероятность появления хоть одной шестерки равна 11/36 или 0,3056 или 30,56%

На этом все! Всем Спасибо!

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

1 Комментарий

Добавить комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme