Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Все события подразделяются на совместные и несовместные. Два события называются совместными, если появление одного события не исключает появление другого события. Другими словами, существует вероятность того, что оба события могут произойти в один момент.

Два события называются несовместными, если появление одного события исключает появление другого события.

Теорема

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий A_1,A_2,...A_n равна сумме вероятностей этих событий:

\boxed {\bf {P\left(\sum_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)}}

Доказательство

Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий A_1 и A_2

Пусть событию A_1 благоприятствуют m_1 элементарных исходов,
а событию A_2 - m_2 исходов. Так как события A_1 и A_2 по условию теоремы несовместны, то событию A_1+A_2 благоприятствуют m_1+m_2 элементарных событий из общего числа n исходов. Отсюда следует, что

P(A_1+A_2)=\dfrac{m_1+m_2}{n}=\dfrac{m_1}{n}+\dfrac{m_2}{n}=P(A_1)+P(A_2),

где P(A_1) и P(A_2) — соответственно вероятности событий A_1 и A_2.

Следствие 1. Если события A_1,A_2,...A_n составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1. Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу A и \bar A

Примеры противоположных событий:

  1. A — попадание при выстреле; \bar A — промах при выстреле.
  2. C — при бросании кубика выпала шестерка; \bar C при бросании кубика шестерка не выпала. 

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна достоверному событию или единице:

P(A)+P(\=A)= \Omega = 1

Решение задач

Задача №1

Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: P(A_1)=0,2, P(A_2)=0,4

Решение:

Так как выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле теоремы вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

P(A_1+A_2)=0,2+0,4=0,6

Ответ: вероятность равна 0,6 или 60%

Задача №2

В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение:

Обозначим события A — выигрыш не менее 20 рублей, A_1 — выигрыш 20 рублей, A_2 — выигрыш 100 рублей, ;A_3 — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события A_1,A_2,A_3 попарно несовместны, причем справедливо выражение: A=A_1+A_2+A_3.

По теореме сложения вероятностей:

P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) = 0,05+0,01+0,001=0,061

Ответ: вероятность события 0,061 или 6,1%

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!

Задача №3

В партии 50 деталей, из них 10 бракованных. На удачу извлекают 4 детали. Какова вероятность поставки партии на реализацию, если условием допуска считается не более одного брака в четырех изъятых?

Решение:

Помните схему, которую я представил при решении задач классического подхода? Давайте используем ее для решения данной задачи.

Итак, схема принимает вид:

модель задачи

 

Запишем возможные события, при которых партия будет поставлена на реализацию:

А = {1 бракованная деталь из 4}

В = {0 бракованных деталей из 4}

А+В = {не более 1 брака из 4}

Вернемся к решению задачи.

Итак, найдем вероятность события А.

P(A) = \dfrac{C_{10}^1 \cdot C_{40}^3}{C_{50}^4}=\dfrac{\dfrac{10!}{9!} \cdot \dfrac{40!}{3! \cdot 37!}}{\dfrac{50!}{4! \cdot 46!}} = 0,429

P(B) = \dfrac{C_{10}^0 \cdot C_{40}^4}{C_{50}^4}=\dfrac{\dfrac{10!}{10!} \cdot \dfrac{40!}{4! \cdot 36!}}{\dfrac{50!}{4! \cdot 46!}} = 0,397

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,429+0,397=0,826

Ответ: вероятность поставки партии 0,826 или 82,6%.

 

 

© 2017 Frontier Theme