Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий A_1,A_2,...A_n равна сумме вероятностей этих событий:

P(\sum_{i=1}^{n}A_i)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)

Доказательство

Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий A_1 и A_2

Пусть событию A_1 благоприятствуют m_1 элементарных исходов,
а событию A_2 - m_2 исходов. Так как события A_1 и A_2 по условию теоремы несовместны, то событию A_1+A_2 благоприятствуют m_1+m_2 элементарных событий из общего числа n исходов. Отсюда следует, что

P(A_1+A_2)=\frac{m_1+m_2}{n}=\frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}=P(A_1)+P(A_2),

где P(A_1) и P(A_2) — соответственно вероятности событий A_1 и A_2.

Следствие 1. Если события A_1,A_2,...A_n составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма – событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1. Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу A и \bar{A}

Примеры противоположных событий:

  1. A — попадание при выстреле; \bar{A} — промах при выстреле.
  2. C — при бросании кубика выпала шестерка; \bar{C} при бросании кубика шестерка не выпала. 

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

P(A)+P(\bar{A})=1

ПРИМЕР 1. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: P(A_1)=0,2, P(A_2)=0,4

Решение. Так как выделение одновременно двух машин – невозможное событие, то по формуле теоремы вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

P(A_1+A_2)=0,2+0,4=0,6

Ответ: вероятность равна 0,6 или 60%

ПРИМЕР 2. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение. Обозначим события A — выигрыш не менее 20 рублей, A_1 — выигрыш 20 рублей, A_2 — выигрыш 100 рублей, ;A_3 — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события A_1,A_2,A_3 попарно несовместны, причем справедливо выражение: A=A_1+A_2+A_3.

По теореме сложения вероятностей:

P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3) = 0,05+0,01+0,001=0,061

Ответ: вероятность события 0,061 или 6,1%

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

1 Комментарий

Добавить комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme