выражения

Преобразование выражений

На прошлом уроке мы познакомились (повторили) понятие «Выражение«. Во внимание мы взяли только основу, а именно определение числовых выражений и выражений с переменными, а также затронули тему сравнение выражений.

Сегодня мы изучим уже более интересную тему — Преобразование выражений.

Свойства действий над числами

Как вы помните, надеюсь, существует три основных свойства сложения и умножения чисел:

Свойство Сложение Умножение
Переместительное a + b = b + a a*b = b*a
Сочетательное (a + b) + c = a + (b + c) (ab)*c = a*(bc)
Распределительное a(b + c) = ab + ac

Пример №1 Вычислить 1,23 + 13,5 + 4,27

Конечно, можно решить прямо так, как оно и есть. Но ведь проще применить переместительное свойство и объединить первое слагаемое с третьим:

1,23 + 4,27 + 13,5

Теперь посчитаем сумму первого и второго: 1,23 + 4,27 = 5,5

И прибавим к результату третье слагаемое: 5,5+13,5 = 19

Ответ: 1,23 + 13,5 + 4,27 = 19

Пример №2 Вычислить: 36*(\frac{1}{4}-\frac{5}{18})

Как и в первом случае данный пример можно вычислить не прибегая к свойствам, при помощи приведения к общему слагаемому, потом умножению числа на дробь.

Но ведь проще применить распределительное свойство! Но ведь в скобках нет сложения, а дана разность, что же делать? Просто берем и разность представляем в виде суммы чисел -\frac{5}{18} и \frac{1}{4}

А теперь применяем третье свойство и получаем:

36*(\frac{1}{4}-\frac{5}{18}) = 36*\frac{1}{4}-36*\frac{5}{18} = 9-10 = -1

Ответ: 36*(\frac{1}{4}-\frac{5}{18}) = -1

Тождества. Тождественные преобразования выражений

Два выражения, которые равны не зависимо от значений переменной называются тождественно равными.

3(x+y) = 3x + 3y

Данные выражения являются тождественно равными, потому что если подставить вместо переменных х и y любое значение, то результат не изменится, они будут равны.

Возьмем в качестве примера x = 1, y = 2 и вычислим:

3(1+2) = 3*1+3*2

3*3 = 3+6

9 = 9

Определение доказано

Равенство, верное при любых значениях переменных, называют тождеством.

Примером можно привести свойства действий над числами, которые мы рассмотрели выше или же числовые, допустим если любое число умножить на ноль, то получится ноль (x*0 = 0) или если любое число умножить или разделить на один, то число не изменится (х*1 = х; х:1 = х) и так далее

Иногда при вычислении более сложных выражений очень полезно использовать тождества, заменяя одно выражение другим тождественно равным для упрощения вычислений. А сама замена называется тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

К преобразованиям относится раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и еще многое другое, о чем вы узнаете суть позже на наших уроках.

Пример №3 Раскроем скобки в выражении a — (4b — c)

Как вы все надеюсь помните, при раскрытии скобок, если перед скобкой стоит знак «+», то просто убираем скобки без проблем, а вот если стоит перед скобкой знак «-«, то обязательно меняем все знаки слагаемых в скобке на противоположные.

Итак, в нашем случае, перед скобкой стоит знак минус, а значит необходимо поменять знаки на противоположные: a — 4b + c

И все решение))

Давайте решим немножко посложнее

Пример №4 Упростите выражение: 4x-(1-2x)+(2x-7) 

Первым делом необходимо раскрыть все скобки (не забываем про правило, о котором напомнил в примере №3).

Итак, получаем 4x-1+2x+2x-7

Теперь нужно привести подобные слагаемые (сложить коэффициенты с переменными, а также простые числа): 4х+2х+2х-1-7 = 8х-8

На этом можно и остановиться, но мы прекрасно видим, что можно вынести цифру «8» за скобки и тогда получаем: 8(x-1)

Ответ: 4x-(1-2x)+(2x-7) = 8(х-1)

Пример №5 -4*(3,3 — 8с) + 4,8с + 5,2

-4*(3,3 - 8с) + 4,8с + 5,2 = -13,2 + 32с + 4,8с + 5,2 = 46,8с-8

 

Пример №6 3*(6 — 5х) + 17х — 10

3*(6 - 5х) + 17х - 10 = 18-15х+17х = 18-32х = 2(9-16х)

 

На этом все, спасибо) До новых встреч!

 

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.

Выражения

Первая тема, которую я бы хотел рассмотреть на уроках элементарной алгебры — это выражения.

Числовые выражения

Числовые выражения — это выражения, состоящие только из цифр и знаков арифметических действий. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения.

Пример №1

Найти значение выражения: 12 * 6 — 16 : 4

Значение числового выражения находится по общепринятой схеме:

  1. сперва вычисляются действия в скобках;
  2. затем вычисляются действия с умножением и делением по порядку;
  3. и в конце уже выполняются действия сложения и вычитания.

Решение:

  1. 12 * 6 = 72
  2. 16 : 4 = 4
  3. 72 — 4 = 68

Ответ: 12 * 6 — 16 : 4 = 68

Выражения с переменными

Выражения, содержащие в себе переменные (a, b, x, y и т.д.) называются выражения с переменными. Найти значение выражения с переменными можно подставив вместо каждой переменной числовое значение.

Пример №2

Найти значение выражения \frac{1}{2}x - y, при x = -3,6, y = 5

Чтобы найти значение данного выражения достаточно подставить значение переменных x и y в наше выражение. Единственное, для удобства можно заменить обыкновенную дробь — десятичной.

Решение: 

0,5х - y = 0,5*(-3,6) - 5 = -0,8 - 5 = -5,8

Ответ: \frac{1}{2}x - y = -5,8

Сравнение значений выражений

Думаю, все мы прекрасно знаем, что такое сравнение — определение большего значения. Единственное, что можно добавить:

Неравенства, составленные при помощи знаков < и > называются строгими неравенствами, а неравенства, составленные при помощи знаков ≤ и ≥ называются нестрогими неравенствами.

Пример №3

Сравните выражения: 0,7 * 0,8 * 0,9 и 0,7 + 0,8 — 0,9

Чтобы сравнить данные выражения необходимо сперва найти значение обоих выражений:

0,7 * 0,8 * 0,9 = 0,504

0,7 + 0,8 — 0,9 = 0,6

А теперь сравним полученные результаты:

0,504 < 0,6

Следовательно, второе выражение строго больше первого.

Ответ: 0,7 * 0,8 * 0,9 < 0,7 + 0,8 — 0,9

В принципе тема очень легкая и решать десяток примеров думаю не нужно, разве что решим одну небольшую задачку:

Пример №4

Один автомобиль прошел 700 км за х часов, а другой автомобиль прошел 630 км за y часов. Определить, какой автомобиль ехал быстрее, если x = 12,5; y = 10,5. 

Все довольно прозрачно, чтобы определить, какой автомобиль быстрее необходимо вычислить скорость, а чтобы найти скорость нужно расстояние разделить на время, и так мы получаем:

700 : 12,5 — скорость первого автомобиля;

630 : 10,5 — скорость второго автомобиля.

Теперь найдем значение выражений и сравним их

700 : 12, 5 = 56

630 : 10,5 = 60

56 < 60

Ответ: второй автомобиль ехал быстрее первого.

Ну и на этой прекрасной ноте, думаю, нам пора и заканчивать наш урок.

 

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.