уравнения

Уравнения с разделяющимися переменными

На прошлом занятии мы научились составлять дифференциальные уравнения кривых. О том, как вы усвоили данный материал мы узнаем в конце этого урока, когда проверим заданные вам задания, а сейчас новая тема.

Уравнения с разделяющимися переменными

На самом деле теории совсем чуть-чуть, по большей части мы все-таки займемся практической частью.

Итак, уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде:

y' = f(x)g(y)                (1)

или

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0       (2)

Чтобы решить подобные уравнения необходимо обе части разделить или умножить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только х, а в другую часть — только y. После производится интегрирование обоих частей.

При делении обоих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример №1 Решить уравнение: x^2y^2y'+1=y

В первую очередь приведем наше уравнение к виду (2), а для этого сперва распишем y’ по формуле \frac{dy}{dx}, а цифру 1 перенесем в правую часть:

x^2y^2\frac{dy}{dx} = y-1

А теперь уже приводим наше выражение к общему виду:

x^2y^2dy=(y-1)dx

А теперь нужно разделить обе части на такое выражение, чтобы слева остались значения только с y, а справа только с х.

Рассуждаем…

Чтобы избавиться в левой части от x^2, нужно эту часть и разделить на  x^2,

а чтобы избавиться от y-1 в правой части нужно его и разделить на y-1.

Получаем выражение: x^2(y-1) — делим на него обе части уравнения:

\frac{y^2}{y-1}dy=\frac{dx}{x^2}

Теперь мы получили идеальное уравнение для интегрирования:

\int{\frac{y^2}{y-1}dy}=\int{\frac{dx}{x^2}}

Получаем:

\frac{y^2}{2}+y+ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C

При делении на  x^2(y-1) могли быть потеряны решения при x=0 и y-1=0, т.е. y=1. Сразу очевидно, что y=1 — решение уравнения, а x=0 — нет.

Если остались вопросы — завадайте их в комментариях.

Дополнительно

Уравнения вида

y'=f(ax+by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z=ax+by+c, где с — любое число.

На этом думаю можно и закончить, тема достаточно простая и будет понятна всем, кто знаком с интегрированием.

Пример №2 y'-xy^2=2xy

\frac{dy}{dx}-xy^2-2xy=0

dy-(xy^2+2xy)dx=0

dy-xy(y+2)dx=0

\frac{dy}{y(y+2)}-xdx=0

\frac{1}{2}(\frac{dy}{y}-\frac{dy}{y+2}-xdx=0

\frac{1}{2}ln|y|+\frac{1}{2}ln|y+2|-\frac{1}{2}x^2=0

x^2=ln|\frac{y+2}{y}|+C

В ответ можно не включать решение y = -2, потому что оно входит в серию решений y(Ce^{-x^2}-1)=2, при С=0

Ответ: y = 0, y = 2

Пример №3 y'=cos(y-x)

Получаем z=y-x, получим:

\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}-1

Исходное уравнение принимает вид:

\frac{dz}{cosz-1}=dx

Интегрируя получаем:

x-ctg\frac{z}{2}=C, или x-ctg\frac{y-x}{2}=C

К этим решения также следует прибавить потерянные решения z = 2kπ, k ∈ Z.

 

На этом все) Всем спасибо!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

 

 

 

Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения: 

x^2=10-3x

Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.

При «х= -2»:

(-2)^2=10-3 \cdot (-2)

4=4 — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения

При «х= -1»

(-1)^2=10-3 \cdot (-1)

1=7 — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения

При «х=0»

0^2=10-3 \cdot 0

0=10 — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения

При «x=2»

2^2=10-3 \cdot 2

4=4 — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения

При «х=3»

3^2=10-3 \cdot 3

9=1 — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения

Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения x^2=10-3x являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

4х + 28 = 3 — х

Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

4х + х = 3 — 28

Теперь вычитаем значение слева и справа:

5х = -25

Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

х = -25:5

х = -5

Ответ х = -5

Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

4(-5+7) = 3-(-5)

4*2 = 8

8 = 8 — уравнение решено верно!

Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

Пример №3 Найти корни уравнения: (y+4)-(y-4)=6y

В первую очередь, также избавимся от скобок:

y+4-y+4=6y

Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

8 = 6y

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

6y=8

Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}

Ответ: y = 1\frac{1}{3}

Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

Пример №4 (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6)

Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

(0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6)

0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6

0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6

-5,2x=7,8

x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5

Ответ: x = -1,5

Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

Теперь можно составить уравнение:

5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

Приравняем первое значение и второе:

2x+10 = 5(x-10) и решаем:

2х + 10 = 5х — 50

2х — 5х = -50 — 10

-3х = -60

х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

2*20 = 40 (яблок) — в ящике

Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

Пример №6 2x - 0,7x = 0

1,3x = 0

x=0/1,3

x = 0

Пример №7 3p - 1 -(p+3) = 1

3p-1-p-3=1

3p-p=1+1+3

2p=5

p=5/2

p=2,5

Пример №8 6y-(y-1) = 4+5y

6y-y+1=4+5y

6y-y-5y=4-1

0y=3 — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

 

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.