теорема гипотез

Теорема гипотез (Формула Байеса)

Данная тема очень простая, главное правильно понять формулу, а дальше по примерам научиться ей пользоваться.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Сформулируем задачу. Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) H_1, H_2,..,H_n. Вероятности этих гипотез известны и равны, соответственно, P(H_1), P(H_2),..., P(H_n). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие A.

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически нам необходимо найти условную вероятность P(A) \neq  0 для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей имеем:

P(A \cdot H_i)=P(A) \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n)

Отсюда,

P(A) \cdot P(H_i / A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i); i=(1, 2, ..., n)

Разделим на P(A) \neq 0 левую и правую часть уравнения, тогда окончательно получим

P(H_i / A)=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{P(A)};i=(1, 2, ..., n)

Выражая P(A) с помощью формулы полной вероятности получим формулу Байеса:

P(H_i / A)=\frac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(H_i) \cdot P(A/H_i)}; i=(1, 2, ..., n)


ПРИМЕР 1. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время t равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0,7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

РЕШЕНИЕ:

Как мы видим из условия, возможны всего 2 гипотезы:

H_1 — прибор собран из высококачественных деталей;

H_2 — прибор собран из обычных деталей.

До проведения опыта вероятности этих гипотез равны P(H_1)=0,4; P(H_2)=0,6. Далее переходим уже к опыту и видим, что в результате наблюдалось событие А — прибор безотказно работал в течении времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах H_1 и H_2 соответственно равны P(A/H_1)=0,95;  P(A/H_2) = 0,7.

Теперь переходим непосредственно к формуле Байеса и находим условную вероятность первой гипотезы:

P(H_1/A)=\frac{0,4 \cdot 0,95}{0,4 \cdot 0,95 + 0,6 \cdot 0,7} = 0,475

ОТВЕТ: вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей равна 0,475 или 47,5%.


ПРИМЕР 2. В урне находятся три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли один шар.

а) Сформулируйте гипотезы о содержимом урны до испытания и укажите их вероятности.

б) Найдите вероятности гипотез после испытания, состоящего в из- влечении из урны белого шара.

РЕШЕНИЕ:

а) Для испытания выскажем 4 попарно несовместимые и равновероятные гипотезы:

H_1 — в урне 3 белых шара;

H_2 — в урне 2 белых и 1 черный шар;

H_3 — в урне 2 белый и 2 черных шара;

H_3 — в урне 3 черных шара.

Вероятность каждого события равна 0,25 или 25%.

б) Так как по условию извлечен белый шар — событие А, то условные вероятности этого события соответственно равны:

P(A/H_4)=0; P(A/H_3)=1/3; P(A/H_2)=2/3; P(A/H_1)=1

Применим формулу Байеса и вычислим:

P(H_1/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{2};

P(H_2/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{3};

P(H_3/A)=\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} \cdot (1+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{6};

P(H_4/A)=0.

ОТВЕТ: вероятность первой гипотезы — 0,5 или 50%, вероятность второй гипотезы — 1/3 или 33,33%, вероятность третьей гипотезы — 1/6 или 16,67%, четвертая гипотеза невозможна и ее вероятность равна нулю.


ПРИМЕР 3. Три организации представили в налоговую инспекцию отчеты для выборочной проверки. Первая организация представила 15 отчетов, вторая – 10, третья – 25. Вероятности правильного оформления отчетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8 и 0,85. Наугад был выбран один отчет, и он оказался правильным. Какова вероятность того, что этот отчет принадлежит второй организации?

РЕШЕНИЕ:

В данной задаче у нас 3 гипотезы, соответствующие выбору первой, второй или третьей организации. Вероятности этих гипотез соответственно будут равны:

P(H_1)=15/50; P(H_2)=10/50; P(H_3)=25/50

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события A — выбран правильно оформленный отчет.

P(A)=0,9 \cdot 15/50 + 0,8 \cdot 10/50 + 0,85 \cdot 25/50 = 0,855

Теперь применим формулу Баейса и вычислим вероятность второй гипотезы:

P(H_2/A)=\frac{0,2 \cdot 0,8}{0,855}=0,19

ОТВЕТ: вероятность того, что выбранный отчет принадлежит второй организации составляет 0,19 или 19%.


Как вы заметили в решении задач по формуле Байеса нет ничего сложного, главное правильно выбрать гипотезы, что обычно не вызывает затруднения.

В окончании хочу дополнить немного в тему.

Формула Байеса называется формулой апостериорной (обратной) вероятности, так как в ней используется информация о произошедшем событии. Это позволяет корректировать уровень имеющейся априорной вероятности по мере поступления сведений о рассматриваемых событиях на основе проводимых экспериментов. Поэтому байесовский подход получил широкое распространение в статистических исследованиях.