Подстановки

Определители n-го порядка

Прежде чем приступать к ознакомлению с данным уроком настоятельно рекомендую ознакомиться с предыдущим уроком «Определители 2-го и 3-го порядков«.

Итак, если с предыдущим уроком все ясно можно переходить к новой теме.

Как всегда начнем со скучной теории…

Подстановки и инверсии в подстановках

Всякое взаимно однозначное отображение π-множества {1, 2, …, n} первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-го порядка.

Всякая подстановка может быть записана в виде:

Подстановка n-го порядка

 

, где a_in = π (i_k) — образ элемента

i_k ∈ {1, 2, ..., n} при отображении π.

Для фиксированной подстановки π существует множество различных способов записи, представленного выше вида, отличающихся нумерацией элементов верхней строки.

К примеру, запись вида

Каноническая запись подстановки

называется канонической

 

 

Говорят, что пара элементов i и j образуют инверсию в подстановке π, если i < j, но ai > aj. Число S (π) всех инверсных пар определяет четность подстановки:

  • подстановка называется четной, если S (π) — четное число;
  • подстановка называется нечетной, если S (π) — нечетное число.

 

Пример №1 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 1(урок 2)

В первую очередь лучше всего перейти к более удобной канонической записи. Для этого мы числа первого ряда запишем по порядку от 1 до 5, а числа второго ряда переставим  в соответствие с первой строкой:

каноническая запись (пример 1, урок 2)

Ну а теперь можно подсчитать число инверсий:

Для тех, кто не понял пары образуются только из первой строчки, нужно найти два таких числа из первой строки, чтобы во-первых первое число было больше второго, а во-вторых, чтобы число под первым числом было, наоборот, меньше числа под вторым.

Ну вот допустим, берем число 1 и число 2 (1 < 2 — первое условие выполнено, но 2 < 4, а значит второе условие не выполнено и данная пара нам не нужна). Если мы берем число 1 и 3, то видим тоже самое. А вот если взять числа 1 и 4, то видимо что первое условие выполняется, т. к. 1 < 4 и второе условие также выполняется, потому что 2 > 1, следовательно, данная пара нам подходит. Теперь нужно только проверить оставшиеся пары и выписать необходимые.

Итак, инверсия образует пары: (1, 4); (2,3); (2,4); (3,4), то S(π) = 4 (равно числу пар)

Так как S(π) = 4, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Пример №2 Определить четность подстановки

рисунок к задаче 2 (урок 2)

Сразу приведем подстановку к каноническому виду:

каноническая запись (пример 2, урок 2)

Инверсия образует пары: (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 3); (2, 5); (3, 5); (4, 5); (4, 6)

S (π) = 10, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Матрица и определитель n-го порядка

Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице:

матрица n-го порядка

 

 

, называется число

 

 

определитель n-го порядка

 

 

, где сумма берется по всем подстановкам n-го порядка.

 

Свойства определителей n-го порядка аналогичны свойствам определителей 3-го порядка, о которых я вам рассказывал на уроке «Определители 2-го и 3-го порядка»

 

 

Пример №3 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 3 (урок 2)

Приведем к каноническому виду:

задача 3 канон

Теперь посчитаем пары: (1,2); (1,3); (1,4); (1,6); (1,7); (2,3); (2,7); (3,7); (4,6); (4,7); (5,6); (5,7); (6,7).

Итого получилось 13 пар

⇒ подстановка π — нечетная.

 

На этом все! Спасибо!

 

Если имеются какие-нибудь вопросы по данной теме (или нашли ошибку в тексте) пишите их в комментариях, по мере возможности буду отвечать и исправлять.