определитель матрицы

Основные методы вычисления определителей n-го порядка

На первом уроке мы с вами научились вычислять определители 2-го и 3-го порядка. На предыдущем уроке мы познакомились с определителями n-го порядка. Сегодня мы научимся вычислять определители n-го порядка разными методами.

Метод понижения порядка

Данный метод основан на следующем соотношении (i-фиксировано):

det A = \sum_{k=1}^{n}{a_{ik}A^{(i.k)}, где                     (1)

 метод понижения порядка

 

                  (2)

 

 

называется алгебраическим дополнением элемента a_{ik} и представляет собой определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и k-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_{ik}.

Соотношение (1) называется разложением определителя по i-й строке. Аналогично определяется разложение по столбцу.

Прежде чем применять метод понижения порядка желательно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).

Пример №1 Вычислить определитель матрицы 4-го порядка.

(Кликните по картинке, чтобы увеличить)

задача 1 урок 3

 

 

1 действие: Из первой строки вычтем удвоенную третью, а ко второй строке прибавим удвоенную третью.

2 действие: Полученный определитель разложим по первому столбцу (вычеркнем первый столбец и третью строку) и не забываем домножить на «4» и на (-1)^{i+k}, где i — номер вычеркнутого столбца, а k — номер вычеркнутой строки.

3 действие: Ко второй строки прибавим умноженную на 10 первую строку, а к третьей строке прибавим умноженную на 4 первую строку.

4 действие: Полученный определитель разложим по первому столбцу (вычеркиваем первую строку и первый столбец) и не забываем домножить на «-1».

5 действие: вычисляем определитель второго порядка

Ответ: -1800

Данный способ очень простой, если вникнуть, в конце урока дам еще парочку заданий потренируетесь и поймете, что данный способ лучше других, хотя, возможно, вам подойдут и другие.

Если остались вопросы, пишите в комментариях.

Метод приведения к треугольному виду

Данный метод заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону из его дополнений, становятся равными нулю.

Пример №2 Вычислить определитель 4-го порядка

Сделаем пример попроще:

задача 2 урок 3 (треугольник)

1 действие: Из 2, 3 и 4 строки вычтем первую строку

2 действие: перемножить числа, расположенные по диагонали

Ответ: -8

Данный способ тоже простой, но и не забывайте, что пример также очень простой, с другими числами будет посложнее, но если вникнуть, то все пройдет также легко.

Если что-то непонятно пишите в комментариях.

Метод реккурентных соотношений

Этот метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке (столбцу), через определители того же вида, но более низкого порядка.

Данный метод будет очень сложен для вашего понимания, поэтому на нем особо зацикливаться не нужно, потому что вникать в него придется очень долго, а поэтому мы рассмотрим его немного позже.

В принципе, если в задании не указано применять данный способ, то лучше вообще о нем не знать, чтобы не забивать голову сложными расчетами и формулами.

Время еще осталось, давайте еще порешаем…

Пример №3 Вычислить определить матрицы, наиболее удобным для вас способом

дз 1 урок 3

 

Для вычисления определителя данной матрицы я воспользуюсь методом понижения порядка (хотя проще было бы, конечно, использовать правило Саррюса)

 

 

 

И так получилось у меня вот что:

матрица 225544

Пример №4

дз 2 урок 3

 

Ну здесь уже правило Саррюса не поможет, поэтому решу его также, как и предыдущее методом понижения порядка.

 

 

Я еще не совсем разобрался с редактором формул, особенно, что касается матриц, поэтому делаю по-старому, позже я постараюсь заменить на более качественный ответ, а пока кликните по картинке, чтобы увеличить:

определитель 45425

 

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме, задавайте вопросы в комментариях.

 

 

Определители n-го порядка

Прежде чем приступать к ознакомлению с данным уроком настоятельно рекомендую ознакомиться с предыдущим уроком «Определители 2-го и 3-го порядков«.

Итак, если с предыдущим уроком все ясно можно переходить к новой теме.

Как всегда начнем со скучной теории…

Подстановки и инверсии в подстановках

Всякое взаимно однозначное отображение π-множества {1, 2, …, n} первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-го порядка.

Всякая подстановка может быть записана в виде:

Подстановка n-го порядка

 

, где a_in = π (i_k) — образ элемента

i_k ∈ {1, 2, ..., n} при отображении π.

Для фиксированной подстановки π существует множество различных способов записи, представленного выше вида, отличающихся нумерацией элементов верхней строки.

К примеру, запись вида

Каноническая запись подстановки

называется канонической

 

 

Говорят, что пара элементов i и j образуют инверсию в подстановке π, если i < j, но ai > aj. Число S (π) всех инверсных пар определяет четность подстановки:

  • подстановка называется четной, если S (π) — четное число;
  • подстановка называется нечетной, если S (π) — нечетное число.

 

Пример №1 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 1(урок 2)

В первую очередь лучше всего перейти к более удобной канонической записи. Для этого мы числа первого ряда запишем по порядку от 1 до 5, а числа второго ряда переставим  в соответствие с первой строкой:

каноническая запись (пример 1, урок 2)

Ну а теперь можно подсчитать число инверсий:

Для тех, кто не понял пары образуются только из первой строчки, нужно найти два таких числа из первой строки, чтобы во-первых первое число было больше второго, а во-вторых, чтобы число под первым числом было, наоборот, меньше числа под вторым.

Ну вот допустим, берем число 1 и число 2 (1 < 2 — первое условие выполнено, но 2 < 4, а значит второе условие не выполнено и данная пара нам не нужна). Если мы берем число 1 и 3, то видим тоже самое. А вот если взять числа 1 и 4, то видимо что первое условие выполняется, т. к. 1 < 4 и второе условие также выполняется, потому что 2 > 1, следовательно, данная пара нам подходит. Теперь нужно только проверить оставшиеся пары и выписать необходимые.

Итак, инверсия образует пары: (1, 4); (2,3); (2,4); (3,4), то S(π) = 4 (равно числу пар)

Так как S(π) = 4, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Пример №2 Определить четность подстановки

рисунок к задаче 2 (урок 2)

Сразу приведем подстановку к каноническому виду:

каноническая запись (пример 2, урок 2)

Инверсия образует пары: (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 3); (2, 5); (3, 5); (4, 5); (4, 6)

S (π) = 10, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Матрица и определитель n-го порядка

Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице:

матрица n-го порядка

 

 

, называется число

 

 

определитель n-го порядка

 

 

, где сумма берется по всем подстановкам n-го порядка.

 

Свойства определителей n-го порядка аналогичны свойствам определителей 3-го порядка, о которых я вам рассказывал на уроке «Определители 2-го и 3-го порядка»

 

 

Пример №3 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 3 (урок 2)

Приведем к каноническому виду:

задача 3 канон

Теперь посчитаем пары: (1,2); (1,3); (1,4); (1,6); (1,7); (2,3); (2,7); (3,7); (4,6); (4,7); (5,6); (5,7); (6,7).

Итого получилось 13 пар

⇒ подстановка π — нечетная.

 

На этом все! Спасибо!

 

Если имеются какие-нибудь вопросы по данной теме (или нашли ошибку в тексте) пишите их в комментариях, по мере возможности буду отвечать и исправлять.

Определители 2-го и 3-го порядков

Начнем с того, что матрица — это математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов (числа, буквенные значения и т.д.)

Теперь вкратце пробежимся по теории.

Матрица 2-го порядка

1

 

, cоставленная из четырех действительных (или комплексных) чисел называется  квадратной матрицей 2-го порядка.

 

Определителем матрицы А, называется число

det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}

 


Пример № 1

Найдите определитель матрицы:

9

Как вы поняли из теории, чтобы найти определитель матрицы 2-го порядка достаточно найти разность произведений чисел, представленных крест-накрест:

10

 

= 3*2 — 5*(-1) = 6 — (-5) = 6 + 5 = 11

 


Матрица 3-го порядка

3

 

— квадратная матрица 3-го порядка

 

 

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число

4

 

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 – (a31a22a13 + a21a12a33 +a32a23a11)

 

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса (правило звездочки):

звездочка

Кстати, есть небольшая хитрость в этом правиле для тех, кто боится запутаться. Заключается она в том, что нужно первые два столбца матрицы переписать за правую скобку и вы увидите, что вычислять определитель станет намного проще.

определитель (хитрость)

Сперва работаете с тремя красными линиями (находите сумму произведений трех линий), а после работаете с синими линиями (также находите сумму произведений, но уже синих линий). И в конце от суммы красных вычитаете сумму синих. Вот и ваш ответ. Попробуйте, это реально проще. Но я не ищу легких путей, поэтому, в основном, буду работать именно с правилом Саррюса, но вам сперва советую пользоваться данной хитростью.

 

Ну и теперь, наконец, переходим на свойства определителей 3-го порядка:

  1. Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится.
  2. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  3. Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак, в частности, если две строки (столбца) равны, то он равен нулю.

Ну и теперь переходим к практической части.


Пример №2

Доказать первое свойство определителей 3-го порядка.

Возьмем любую матрицу третьего порядка, допустим:

6

Для начала найдем определитель данной матрицы, для этого используем «правило звездочки»

7

 

= 5*1*(-1) + 6*4*4 + -5*(-3)*0 — ((-5)*1*4 + 6*(-3)*(-1) + 5*0*4) = -5 + 96 + 0 — (-20 + 18 + + 0) = 91 — (-2) = 93

 

Итак, определитель матрицы равен 93 (внимательно следите за цифрами, которые используете). Перед тем как привыкните советую вам простым карандашом выделять линиями те цифры, которые уже использовали. И не забывайте смотреть на схему правила Саррюса, представленную в теоретической части.

Решаем далее…

Сейчас нам необходимо транспонировать матрицу, а значит, переписать матрицу, меняя строки столбцами, а столбцы строками — здесь нет ничего сложного (берете первые три цифры из строки и записываете их в столбик и так далее).

8

 

Разобрались?  Ничего ведь сложного, правда?

 

Теперь, также найдем определитель транспонированной матрицы:

8

 

= 5*1*(-1) + (-3)*0*(-5) + 4*6*4 — (4*1*(-5) + (-3)*6*(-1) + 0*4*5) = -5 + 0 + 96 — (-20 + 18 + 0) = 91 — (-2) = 93

 

А теперь сравните определитель матрицы A и определитель транспонированной матрицы AT

В обоих случаях получилось 93, а значит свойство доказано!!!


Пример №3 Вычислить определитель

11

 

= 7 * 4 — 1 * (-3) = 28 + 3 = 31

 

 

Пример №4

определитель матрицы (2)

 

= 7 * (-5) * 2 + 8 * 0 * 1 + (-3) * (-3) * 4 — (-3) * (-5) * 1 — 8 * (-3) * 2 — 0 * 4 * 7 = -70 +0 + 36 -15 + 48 — 0 = -1

 

 

На этом наш первый урок подходит к концу. После его изучения вы должны были научиться находить определители матрицы 2-го и 3-го порядка, а также научились транспонировать матрицу.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.