метод понижения порядка

Основные методы вычисления определителей n-го порядка

На первом уроке мы с вами научились вычислять определители 2-го и 3-го порядка. На предыдущем уроке мы познакомились с определителями n-го порядка. Сегодня мы научимся вычислять определители n-го порядка разными методами.

Метод понижения порядка

Данный метод основан на следующем соотношении (i-фиксировано):

det A = \sum_{k=1}^{n}{a_{ik}A^{(i.k)}, где                     (1)

 метод понижения порядка

 

                  (2)

 

 

называется алгебраическим дополнением элемента a_{ik} и представляет собой определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и k-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_{ik}.

Соотношение (1) называется разложением определителя по i-й строке. Аналогично определяется разложение по столбцу.

Прежде чем применять метод понижения порядка желательно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).

Пример №1 Вычислить определитель матрицы 4-го порядка.

(Кликните по картинке, чтобы увеличить)

задача 1 урок 3

 

 

1 действие: Из первой строки вычтем удвоенную третью, а ко второй строке прибавим удвоенную третью.

2 действие: Полученный определитель разложим по первому столбцу (вычеркнем первый столбец и третью строку) и не забываем домножить на «4» и на (-1)^{i+k}, где i — номер вычеркнутого столбца, а k — номер вычеркнутой строки.

3 действие: Ко второй строки прибавим умноженную на 10 первую строку, а к третьей строке прибавим умноженную на 4 первую строку.

4 действие: Полученный определитель разложим по первому столбцу (вычеркиваем первую строку и первый столбец) и не забываем домножить на «-1».

5 действие: вычисляем определитель второго порядка

Ответ: -1800

Данный способ очень простой, если вникнуть, в конце урока дам еще парочку заданий потренируетесь и поймете, что данный способ лучше других, хотя, возможно, вам подойдут и другие.

Если остались вопросы, пишите в комментариях.

Метод приведения к треугольному виду

Данный метод заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону из его дополнений, становятся равными нулю.

Пример №2 Вычислить определитель 4-го порядка

Сделаем пример попроще:

задача 2 урок 3 (треугольник)

1 действие: Из 2, 3 и 4 строки вычтем первую строку

2 действие: перемножить числа, расположенные по диагонали

Ответ: -8

Данный способ тоже простой, но и не забывайте, что пример также очень простой, с другими числами будет посложнее, но если вникнуть, то все пройдет также легко.

Если что-то непонятно пишите в комментариях.

Метод реккурентных соотношений

Этот метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке (столбцу), через определители того же вида, но более низкого порядка.

Данный метод будет очень сложен для вашего понимания, поэтому на нем особо зацикливаться не нужно, потому что вникать в него придется очень долго, а поэтому мы рассмотрим его немного позже.

В принципе, если в задании не указано применять данный способ, то лучше вообще о нем не знать, чтобы не забивать голову сложными расчетами и формулами.

Время еще осталось, давайте еще порешаем…

Пример №3 Вычислить определить матрицы, наиболее удобным для вас способом

дз 1 урок 3

 

Для вычисления определителя данной матрицы я воспользуюсь методом понижения порядка (хотя проще было бы, конечно, использовать правило Саррюса)

 

 

 

И так получилось у меня вот что:

матрица 225544

Пример №4

дз 2 урок 3

 

Ну здесь уже правило Саррюса не поможет, поэтому решу его также, как и предыдущее методом понижения порядка.

 

 

Я еще не совсем разобрался с редактором формул, особенно, что касается матриц, поэтому делаю по-старому, позже я постараюсь заменить на более качественный ответ, а пока кликните по картинке, чтобы увеличить:

определитель 45425

 

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме, задавайте вопросы в комментариях.