матрица

Матрица и операции над ней

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины.

Определение матрицы

Матрицей A размерности m \times n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов, число расположенное в i-ой строке и j-столбце обозначается a_{ij} и называется элементом матрицы A, т. е.

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Операции над матрицами

Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами:

  • сумма матриц;
  • произведение матрицы на число;
  • произведение матриц;
  • транспонирование матрицы

Сумма матриц

Сумма матриц A_{m \times n} и B_{m \times n} называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, где  i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример, чтобы стало понятнее.

ПРИМЕР 1. Найди сумму матриц А и В.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Как ясно из определения, чтобы найти сумму двух матриц нужно просто каждый элемент одной матрицы сложить с каждый элементом второй матрицы.

C=\begin{bmatrix} -4+(-1) & 6+0 & 0+3 \\ 8+5 & 2+1 & -2+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 6 & 3 \\ 13 & 3 & 0 \end{bmatrix}

Как видите здесь сложного абсолютно ничего нет, так можно складывать и три и более матриц.

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы A_{m \times n} на число \alpha называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}= \alpha a_{ij}, где i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2. Умножь матрицу А на число 2.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}; \alpha = 2

Эта операция, наверное, еще проще предыдущей. Нужно просто число умножить на каждый элемент матрицы А.

\alpha A=\begin{bmatrix} -4 \cdot 2 & 6 \cdot 2 & 0 \cdot 2 \\ 8 \cdot 2 & 2 \cdot 2 &-2 \cdot 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -8 & 12 & 0 \\ 16 & 4 &-4 \end{bmatrix}

Произведение двух матриц

Произведением матрицы A_{m \times n} на матрицу B_{n \times k} называется матрица C_{m \times k} такая, что c_{ij}=a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \dots + a_{in} \cdot b_{nj}

Условие: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, иначе умножение невозможно!

Здесь уже более сложно так, что будьте внимательны. Чтобы сперва понять, возьмем пример самый простой с квадратными матрицами второго порядка.

ПРИМЕР 3. Вычислить произведение двух матриц.

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

Сразу, я вам не советую составлять матрицы, а делать все постепенно, подробно расписывая. Потом, когда приловчитесь, будете записывать все кратко и большинство действий проделывать в голове.

Поэтому по-порядку, распишем каждое получаемое число:

c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = -2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = -2+5=3

c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = -2 \cdot -3 + 5 \cdot 4 = 6+20=26

c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 3+0=3

c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot -3 + 0 \cdot 4 = -9+0=-9

Если записываете данные вычисления в тетради, то не забудьте выделить с обоих сторон фигурными скобками, обозначая отступление от решения { }.

Теперь можно записать получившуюся матрицу С, не забывайте — первое число элемента матрицы — это строка, второе число — столбец.

В итоге, получаем

C=\begin{bmatrix} 3 & 26 \\ 3 & -9 \end{bmatrix}

ЗАПОМНИТЕ!  При умножении матриц НЕ действует закон коммутативности (от перестановки мест множителей произведение не меняется). В матрицах произведение меняется, т. е. у вас не получится поменять местами две матрицы.

Так, думаю, стоит рассмотреть еще один пример на умножение, но уже по-сложнее, к примеру, третьей размерности возьмем матрицы.

ПРИМЕР 4. Вычислить произведение двух матриц.

 

A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 7 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 4 \\ -3 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21} +a_{13}b_{31} =5 \cdot 7+(-3) \cdot 8+4 \cdot (-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b_{22} +a_{13}b_{32} =5 \cdot (-3)+(-3) \cdot (-5)+4 \cdot 0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b_{23} +a_{13}b_{33} = 5 \cdot 1+(-3) \cdot 4+4 \cdot 2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b_{21} +a_{23}b_{31} = 6 \cdot 7+1 \cdot 8+0 \cdot (-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} +a_{23}b_{32} = 6 \cdot (-3)+1 \cdot (-5)+0 \cdot 0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b_{23} +a_{23}b_{33} = 6 \cdot 1+1 \cdot 4+0 \cdot 2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b_{21} +a_{33}b_{31} = (-5) \cdot 7+4 \cdot 8+(-1) \cdot (-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b_{22} +a_{33}b_{32} = (-5) \cdot (-3)+4 \cdot (-5)+(-1) \cdot 0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b_{23} +a_{33}b_{33} = (-5) \cdot 1+4 \cdot 4+(-1) \cdot 2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

C=\begin{bmatrix} -1 & -30 & 1 \\ 43 & -23 & 10 \\ 0 & -5 & 9 \end{bmatrix}

Транспонирование матрицы

Матрица A^T_{n \times n} называется транспонированной матрицей A_{m \times n}, если

a_{ij}^T=a_{ji}, где i=1,2, \dots, n; j=1,2, \dots, m

ПРИМЕР 5. Транспонировать матрицу А:

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -2 \end{bmatrix}

A^T=\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

Как видите первый столбец стал первой строкой, второй столбец второй строкой и так далее. Ничего сложного не вижу в этом и обычно у студентов проблем с транспонированием не возникает.

Свойства операций над матрицами

  1. A+B=B+A
  2. A+(B+C)=(A+B)+C
  3. A \cdot B \not= B \cdot A       ВНИМАТЕЛЬНО!
  4. A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C
  5. (A+B) \cdot C = AC + BCC \cdot (A+B)=CA+CB
  6. ( \alpha + \beta )\cdot A = \alpha A + \beta A
  7. \alpha (A+B) = \alpha A + \alpha B
  8. (A^T)^T=A
  9. (A+B)^T = A^T+B^T
  10. (A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T    ВНИМАТЕЛЬНО!

Ну думаю для первой темы вам будет предостаточно, в принципе ничего сложного, ведь все операции над матрицами сводятся к простым арифметическим операциям, которые вы надеюсь умеете выполнять еще с начальной школы.

Обратная матрица

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Обратная матрица

Матрица A^T называется транспонированной к матрице A, если выполняется условие:

A_{ij}^T=A_{ji}, для всех i,j, где a_{ij} и a_{ji} — элементы матриц A и A^T соответственно.

Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами.

Пример №1 Транспонировать матрицу А

матрица А 25452

Как я написал выше, транспонировать матрицу, значит, записать строки столбцами, а столбцы строками, т.е. первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и т.д.

Получаем,

транспонировання матрица А

И на этом, все — ничего ведь сложного? правда?

Свойства транспонированной матрицы А:

  • (A^T)^T = A
  • (A+B)^T = A^T+B^T
  • (AB)^T = B^T*A^T

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если А — невырожденная матрица, то существует и при том единственная матрица A^{-1} такая, что

AA^{-1}=A^{-1}A = E, где

E — единичная матрица.

Матрица A^{-1} называется обратной к матрице А.

К большому сожалению найти обратную матрицу — это не значит поменять знаки на противоположные)) — это целый комплекс вычислений.

Мы с вами рассмотрим два основных метода решения обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы

Присоединенная (союзная) матрица A^V определяется, как транспонированная к матрице, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Справедливо равенство:

A^VA=AA^V=det A*E

⇒ если А — невырожденная матрица, то

A^{-1}=\frac{1}{det A}A^V

Пример №2 Найти обратную матрицу А

матрица А 559

В первую очередь, мы должны доказать, что матрица — невырожденная, а значит, вычислим определитель:

det A = 0+6+16-0-30+4 = -4 ≠ 0 — матрица невырожденная.

Теперь находим присоединенную матрицу, а здесь. ВНИМАНИЕ.

Чтобы найти первый член присоединенной матрицы, т.е. A^{(1,1)} нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец и найти определитель оставшейся части:

матрицыапва

Т.е. цифры над буквой А, обозначают не только место определителя в присоединенной матрице, но и какую строку и какой столбец нужно вычеркнуть из исходной, (1 цифра — строка, 2 цифра — столбец) и, конечно, определяют знак матрицы.

Для наглядности также распишу, как найти второй член A^{(1,2)}:

матриц 595

Теперь, я думаю, принцип вам понятен.

Для большего удобства предлагаю вам записывать результаты на листе, также как они строят в матрице:

A^{(1,1)} = 0+4 = 4 A^{(1,2)}= -(15-8) = -7 A^{(1,3)}= -6-0 = -6
A^{(2,1)}=-(10-2)=-8 A^{(2,2)}= 5+4 = 9 A^{(2,3)}= -(-2-8) = 10
A^{(3,1)} = 4-0 = 4 A^{(3,2)}= -(2+3) = -5 A^{(3,3)}= 0-6 = -6

    Собрав все полученные числа и расставив их по своим местам, получаем матрицу:

 матрица 7454

Но согласно определению, нам требуется транспонированная матрица, поэтому делаем это преобразование и получаем союзную матрицу:

союзная матрица

Ну и последний штрих, чтобы найти обратную матрицу нужно каждый член союзной матрицы разделить на определитель исходной матрицы (который мы находили в самом начале, т.е. на -4):

обратная матрица 87898обратная матрица

Это и будет наш ответ, при желании сделать проверку нужно перемножить главную матрицу на обратную и если в результате получается единичная матрица — то решение верное!

Метод элементарных преобразований

Данный метод еще называют методом Гаусса и мы будем его еще применять при решении систем линейных уравнений.

К элементарным преобразования относятся:

  1. перестановки строк (столбцов);
  2. умножение строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.

Пример №3 Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований

матрица 548989

Составляем расширенную матрицу [A|E]:

расширенная матрица 555415

Теперь наша задача состоит в том, чтобы первая часть матрицы (до черты) стала единичной, т.е. a_{11}, a_{22}, a_{33} принимают значение 1, а остальные значение 0.

Займемся первым столбцом

Число в первой строке нужно превратить в 1 для этого всю строку умножим на \frac{1}{3}.

Чтобы во второй строке получить 0 нужно из второй строки отнять первую строку, предварительно умноженную на \frac{4}{3}.

Чтобы в третьей строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{3}.

Все действия делаем от исходной расширенной матрицы, получаем:

45455

Первый столбец теперь соответствует единичной матрице, поэтому

Займемся вторым столбцом

Теперь мы работаем уже с полученной матрицей, после преобразований первого столбца.

Чтобы в первой строке получить 0 мы из первой строки отнимем вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{7}.

Чтобы во второй строке получить 1 мы домножим вторую строку на \frac{3}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 0 мы к третьей строке прибавим вторую строку, предварительно умноженную на \frac{1}{7}

Выполнив данные действия, получаем:

матрица преобр 2

Работаем дальше с третьим столбцом:

Чтобы в первой строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть первую строку, предварительно умножив на \frac{2}{3}.

Чтобы получить 0 во второй строке нужно к третьей строке прибавить вторую строку, предварительно умножив на \frac{1}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 1 нужно домножить третью строку на \frac{7}{24}.

Получаем:

матрица преобр 3

В первой части матрицы мы получили единичную матрицу, а вторая часть матрицы (после черты) и будет нашей обратной матрицей:

обратная мрица 4994

Оба способа нахождения обратной матрицы, довольно простые, если в них вникнуть, самое главное — не допустить ошибок в вычислениях, а остальное придет со временем.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Операции над матрицами

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/

Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и вычисляются немного по-другому. И именно сегодня мы этим и займемся.

Матрицей размера m x n или (m x n)-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел a_{i,j}, i=1,2,3,...,m, j=1,2,...,n

матрица m x n

 

 

 

, состоящая из m-строк и n-столбцов

 

Сумма матриц

Суммой A+B (m x n)-матриц A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) называется матрица C=(c_{ij}) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и В.

Ну с этим все очень просто, а рассмотрев пример, вообще поймете, что делать нечего.

Пример №1 Вычислить сумму матриц A и В

матрица 1матрица 2

Делаем согласно правилу: складываем элементы матрицы А и соответствующие элементы матрицы В:

матрица 1+2

Все! Сумма матриц А и В найдена! Проще простого.

Произведение матрицы на число

Произведением αA матрицы A=(a_{ij}) на действительное или комплексное число α называется матрица B, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число α.

Как вы видите из определения, здесь также нет ничего сложного.

Пример №2 Найти произведение матрицы A на число -2.

матрица 1

Просто перемножаем каждое число матрицы А на число -2:

матрица 1х-2

Произведение матриц

Произведением АВ (m x n)-матрицы A=(a_{ij}) на (n x k)-матрицу B=(b_{ij}), называется (m x k)-матрица C=(c_{ij}), элемент которой (c_{ij}), стоящий в i-строке и j-столбце равен сумме произведений соответствующих элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В.

Понимаю, что в этом огромном определении вам мало, что понятно, но все таки попробуем разобраться.

Во-первых знайте: умножать матрицы можно только в том случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы!

Во-вторых знайте: переместительный закон умножения здесь не действует! Т.е. если матрицы поменять местами, то и результат изменится.

Ну а теперь давайте решим пример.

Пример №3 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

матрица 3матрица 4

Чтобы вам было проще и, чтобы вы не наделали глупых ошибок в вычислениях, советую сперва расписывать каждый элемент матрицы:

c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}= 4*2+(-4)*(-16) = 8+64 = 72

c_{12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = 4*(-10)+(-4)*0 = -40+0 = -40

c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = 3*2+7*(-16) = 6-112 = -106

c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = 3*(-10)+7*0 = -30

А теперь полученные числа, вписываем в матрицу, согласно координатам (ij):

матрица 34

Произведение матрицы найдено! Посложнее, конечно, но ничего поймете методику и вникните быстро).

Рассмотрим, теперь пример посложнее…

Пример №4 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

612

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b{21} +a_{13}b_{31} =5*7+(-3)*8+4*(-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b{22} +a_{13}b_{32} =5*(-3)+(-3)*(-5)+4*0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b{23} +a_{13}b_{33} = 5*1+(-3)*4+4*2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b{21} +a_{23}b_{31} = 6*7+1*8+0*(-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b{22} +a_{23}b_{32} = 6*(-3)+1*(-5)+0*0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b{23} +a_{23}b_{33} = 6*1+1*4+0*2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b{21} +a_{33}b_{31} = (-5)*7+4*8+(-1)*(-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b{22} +a_{33}b_{32} = (-5)*(-3)+4*(-5)+(-1)*0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b{23} +a_{33}b_{33} = (-5)*1+4*4+(-1)*2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

АВ

Возьмем немного сложнее пример дальше.

Пример №5 Вычислить 3А + ВС

матрица А 25452 матрица В 14785 матрица С 98752

Решаем это, как обычный пример, правда вместо слагаемых будут выступать матрицы.

1 действие: 3*А:

матрица 9954

2 действие: BC:

bc_{11} =b_{11}c_{11} +b_{12}c{21} +b_{13}c_{31} =1*(-2)+8*8+(-7)*(-4) = 90

bc_{12} =b_{11}c_{12} +b_{12}c{22} +b_{13}c_{32} =1*4+8*(-7)+(-7)*8 = -108

bc_{13} =b_{11}c_{13} +b_{12}c{23} +b_{13}c_{33} = 1*5+8*4+(-7)*0 = 37

bc_{21} =b_{21}c_{11} +b_{22}c{21} +b_{23}c_{31} = 2*(-2)+0*8+5*(-4) = -24

bc_{22} =b_{21}c_{12} +b_{22}c{22} +b_{23}c_{32} = 2*4+0*(-7)+5*8 = 48

bc_{23} =b_{21}c_{13} +b_{22}c{23} +b_{23}c_{33} = 2*5+0*4+5*0 = 10

bc_{31} =b_{31}c_{11} +b_{32}c{21} +b_{33}c_{31} = 4*(-2)+(-1)*8+9*(-4)= -52

bc_{32} =b_{31}c_{12} +b_{32}c{22} +b_{33}c_{32} = 4*4+(-1)*(-7)+9*8 = 95

bc_{33} =b_{31}c_{13} +b_{32}c{23} +b_{33}c_{33} = 4*5+(-1)*4+9*0 = 16

Вставляем полученные результаты в матрицу и получаем:

матрица 87485

Ну а теперь, выполняем последнее действие, а именно складываем матрицы 3А и ВС:

матрицы сложение 848484

На этой хорошей ноте всем спасибо)

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в заданиях, задавайте вопросы в комментариях.

 

 

Определители n-го порядка

Прежде чем приступать к ознакомлению с данным уроком настоятельно рекомендую ознакомиться с предыдущим уроком «Определители 2-го и 3-го порядков«.

Итак, если с предыдущим уроком все ясно можно переходить к новой теме.

Как всегда начнем со скучной теории…

Подстановки и инверсии в подстановках

Всякое взаимно однозначное отображение π-множества {1, 2, …, n} первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-го порядка.

Всякая подстановка может быть записана в виде:

Подстановка n-го порядка

 

, где a_in = π (i_k) — образ элемента

i_k ∈ {1, 2, ..., n} при отображении π.

Для фиксированной подстановки π существует множество различных способов записи, представленного выше вида, отличающихся нумерацией элементов верхней строки.

К примеру, запись вида

Каноническая запись подстановки

называется канонической

 

 

Говорят, что пара элементов i и j образуют инверсию в подстановке π, если i < j, но ai > aj. Число S (π) всех инверсных пар определяет четность подстановки:

  • подстановка называется четной, если S (π) — четное число;
  • подстановка называется нечетной, если S (π) — нечетное число.

 

Пример №1 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 1(урок 2)

В первую очередь лучше всего перейти к более удобной канонической записи. Для этого мы числа первого ряда запишем по порядку от 1 до 5, а числа второго ряда переставим  в соответствие с первой строкой:

каноническая запись (пример 1, урок 2)

Ну а теперь можно подсчитать число инверсий:

Для тех, кто не понял пары образуются только из первой строчки, нужно найти два таких числа из первой строки, чтобы во-первых первое число было больше второго, а во-вторых, чтобы число под первым числом было, наоборот, меньше числа под вторым.

Ну вот допустим, берем число 1 и число 2 (1 < 2 — первое условие выполнено, но 2 < 4, а значит второе условие не выполнено и данная пара нам не нужна). Если мы берем число 1 и 3, то видим тоже самое. А вот если взять числа 1 и 4, то видимо что первое условие выполняется, т. к. 1 < 4 и второе условие также выполняется, потому что 2 > 1, следовательно, данная пара нам подходит. Теперь нужно только проверить оставшиеся пары и выписать необходимые.

Итак, инверсия образует пары: (1, 4); (2,3); (2,4); (3,4), то S(π) = 4 (равно числу пар)

Так как S(π) = 4, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Пример №2 Определить четность подстановки

рисунок к задаче 2 (урок 2)

Сразу приведем подстановку к каноническому виду:

каноническая запись (пример 2, урок 2)

Инверсия образует пары: (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 3); (2, 5); (3, 5); (4, 5); (4, 6)

S (π) = 10, то ⇒  π — четная подстановка.


 

Матрица и определитель n-го порядка

Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице:

матрица n-го порядка

 

 

, называется число

 

 

определитель n-го порядка

 

 

, где сумма берется по всем подстановкам n-го порядка.

 

Свойства определителей n-го порядка аналогичны свойствам определителей 3-го порядка, о которых я вам рассказывал на уроке «Определители 2-го и 3-го порядка»

 

 

Пример №3 Определить четность подстановки:

рисунок к задаче 3 (урок 2)

Приведем к каноническому виду:

задача 3 канон

Теперь посчитаем пары: (1,2); (1,3); (1,4); (1,6); (1,7); (2,3); (2,7); (3,7); (4,6); (4,7); (5,6); (5,7); (6,7).

Итого получилось 13 пар

⇒ подстановка π — нечетная.

 

На этом все! Спасибо!

 

Если имеются какие-нибудь вопросы по данной теме (или нашли ошибку в тексте) пишите их в комментариях, по мере возможности буду отвечать и исправлять.

Определители 2-го и 3-го порядков

Начнем с того, что матрица — это математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов (числа, буквенные значения и т.д.)

Теперь вкратце пробежимся по теории.

Матрица 2-го порядка

1

 

, cоставленная из четырех действительных (или комплексных) чисел называется  квадратной матрицей 2-го порядка.

 

Определителем матрицы А, называется число

det A = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}

 


Пример № 1

Найдите определитель матрицы:

9

Как вы поняли из теории, чтобы найти определитель матрицы 2-го порядка достаточно найти разность произведений чисел, представленных крест-накрест:

10

 

= 3*2 — 5*(-1) = 6 — (-5) = 6 + 5 = 11

 


Матрица 3-го порядка

3

 

— квадратная матрица 3-го порядка

 

 

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число

4

 

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 – (a31a22a13 + a21a12a33 +a32a23a11)

 

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка вычисляется по правилу Саррюса (правило звездочки):

звездочка

Кстати, есть небольшая хитрость в этом правиле для тех, кто боится запутаться. Заключается она в том, что нужно первые два столбца матрицы переписать за правую скобку и вы увидите, что вычислять определитель станет намного проще.

определитель (хитрость)

Сперва работаете с тремя красными линиями (находите сумму произведений трех линий), а после работаете с синими линиями (также находите сумму произведений, но уже синих линий). И в конце от суммы красных вычитаете сумму синих. Вот и ваш ответ. Попробуйте, это реально проще. Но я не ищу легких путей, поэтому, в основном, буду работать именно с правилом Саррюса, но вам сперва советую пользоваться данной хитростью.

 

Ну и теперь, наконец, переходим на свойства определителей 3-го порядка:

  1. Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится.
  2. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  3. Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак, в частности, если две строки (столбца) равны, то он равен нулю.

Ну и теперь переходим к практической части.


Пример №2

Доказать первое свойство определителей 3-го порядка.

Возьмем любую матрицу третьего порядка, допустим:

6

Для начала найдем определитель данной матрицы, для этого используем «правило звездочки»

7

 

= 5*1*(-1) + 6*4*4 + -5*(-3)*0 — ((-5)*1*4 + 6*(-3)*(-1) + 5*0*4) = -5 + 96 + 0 — (-20 + 18 + + 0) = 91 — (-2) = 93

 

Итак, определитель матрицы равен 93 (внимательно следите за цифрами, которые используете). Перед тем как привыкните советую вам простым карандашом выделять линиями те цифры, которые уже использовали. И не забывайте смотреть на схему правила Саррюса, представленную в теоретической части.

Решаем далее…

Сейчас нам необходимо транспонировать матрицу, а значит, переписать матрицу, меняя строки столбцами, а столбцы строками — здесь нет ничего сложного (берете первые три цифры из строки и записываете их в столбик и так далее).

8

 

Разобрались?  Ничего ведь сложного, правда?

 

Теперь, также найдем определитель транспонированной матрицы:

8

 

= 5*1*(-1) + (-3)*0*(-5) + 4*6*4 — (4*1*(-5) + (-3)*6*(-1) + 0*4*5) = -5 + 0 + 96 — (-20 + 18 + 0) = 91 — (-2) = 93

 

А теперь сравните определитель матрицы A и определитель транспонированной матрицы AT

В обоих случаях получилось 93, а значит свойство доказано!!!


Пример №3 Вычислить определитель

11

 

= 7 * 4 — 1 * (-3) = 28 + 3 = 31

 

 

Пример №4

определитель матрицы (2)

 

= 7 * (-5) * 2 + 8 * 0 * 1 + (-3) * (-3) * 4 — (-3) * (-5) * 1 — 8 * (-3) * 2 — 0 * 4 * 7 = -70 +0 + 36 -15 + 48 — 0 = -1

 

 

На этом наш первый урок подходит к концу. После его изучения вы должны были научиться находить определители матрицы 2-го и 3-го порядка, а также научились транспонировать матрицу.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.