изогональная траектория

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ(x, y, C_1, ... , C_n)          (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C1 … Cn.

Изогональные траектории

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями. Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

Пусть

y' = f (x,y) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

y' = f_1 (x,y) — уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f1 (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

F (x,y,y') = 0,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: C_1x+(y-C_2)^2 = 0

  • Так как уравнение содержит два параметра (С1 и С2), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная: C_1+ 2(y - C_2)y'

Вторая производная: 2y'^2+ 2(y - C_2)y'' = 0

  • Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С1 , а для этого выведем его из уравнения первой производной С1 = -2(y — С2)y’ и подставим в наше уравнение:

-2xy' (y - C_2 + (y - C_2)^2 = 0       (2)

  • Теперь также нужно избавиться от параметра C2, а для этого выведем ее из второй производной: y — C2 = -y’2 / y» и подставим это в (2):

-2xy' (\frac{-y'^2}{y''})+(\frac{-y'^2}{y''})^2 = 0

  • Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

y' + 2xy'' = 0

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение: y = ax^3 + bx^2 + cx

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С1 и С2 здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду,  думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная: y' = 3ax^2 + 2bx + c,   где c = y' - 3ax^2 - 2bx

Вторая производная: y'' = 6ax + 2b,     где b = \frac{y'' - 6ax}{2}

Третья производная: y''' = 6a,    где a = \frac{y'''}{6}

y = ax^3 + bx^2 + (y' - 3ax^2 - 2bx)x

y = ax^3 + bx^2 + xy' - 3ax^3 - 2bx^2

y = -2ax^3 - bx^2 + xy'

y = -2ax^3 - x^2(\frac{y'' - 6ax}{2}) + xy'

y = -2ax^3 - \frac{x^2y'' + 6ax^3}{2} + xy'

2y = 2ax^3 - x^2y'' + xy'

2y = 2x^3(\frac{y'''}{6} - x^2y'' + xy'

6y = x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy'

Ответ: x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy' - 6y = 0

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3 ln y = ax+by

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: \frac{y'}{y}=a+by', где a = \frac{y'-byy'}{y}

Вторая производная: \frac{y''y-y'^2}{y^2}=by'', где b=y''y-\frac{y'^2}{y''y^2}

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

a = \frac{y'-byy'}{y}=\frac{y'}{y}-\frac{yy'(y''y-y'^2)}{y''y^3}=\frac{y'^3}{y''y^2}

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

ln y = \frac{y'^3}{y''y^2}x+y''y-\frac{y'^2}{y''y^2}y

y''y^2ln y = xy'^3+y''y^2-y'^2y ⇒ y''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)

Ответy''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)

Пример №4 y = sin(x+C)

Ну а здесь все еще проще:

Найдем производную:

y'=cos(x+C)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

y'^2=cos^2(x+C)

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

1-y'^2=1-cos^2(x+C)=sin^2(x+C)

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

sin^2(x+C)=y^2

И, следовательно,

1-y'^2=y^2

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ: y'^2+y^2=1

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

 

 

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.