функция

Прямая пропорциональность и ее график

На предыдущих уроках вы узнали, что такое функция, а также научились строить графики функций. Но функции, как и все другое имеют свою классификацию и на данном уроке мы познакомимся с самой простой функцией.

Определение

Рассмотрим пример.

Пусть V — объем деревянного бруска, выраженный в кубических сантиметрах, а m — его масса, выраженная в граммах. Любой материал, если вы не знаете имеет свою плотность (с уроков физики, вы узнаете, что плотность задается формулой \rho=V \cdot m). Но для определения плотность вообще существуют таблицы, умные люди давно уже все рассчитали, а нам остается только найти нужную информацию. Конечно, плотность древесины отличается, в зависимости, от дерева, из которого она была изготовлена, поэтому допустим наш брусок изготовлен из дуба. Тогда плотность нашего бруска равна 0,69 г/см^3, следовательно масса нашего бруска m = 0,69V. А вот зависимость массы нашего бруска, от его объема является примером функции, которое задается уравнением y = kx, где x — независимая переменная, а k — число, отличное от нуля. Такая функция называется прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx, где х — независимая переменная, а k — число, не равное нулю.

Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

ПРИМЕР 1

Путь s км — это пройденный пешеходом за t ч с постоянной скоростью 3 км/ч, вычисляется по формуле s = 3t, где t > 0, т.е. зависимость пути от времени является прямой пропорциональностью.

ПРИМЕР 2

Стоимость p товара в рублях по цене 30 р. за кг. вычисляется по формуле p=30x, где x — масса товара в килограммах. В данной задаче также представлена прямая пропорциональность.

 

Ну чтож а теперь давайте посмотрим, что же представляет собой график прямой пропорциональности.

В качестве примера воспользуемся функцией y=1,5x и построим график этой функции.

Область определения прямой пропорциональности — это вся числовая прямая (т.е. мы можем брать абсолютно любые числа). Составим таблицу значений аргумента:

x -2 0 2
y -3 0 3

Отменим эти три точки на координатной плоскости и соединим их. Как видите у нас получилась прямая, проходящая через начало координат. Но так как это прямая — то у нее нет начала и нет конца (мы ведь могли взять любые точки), а значит функция не должна ограничиваться в точках. Посмотрите, как вышло у меня:

yotx.ru (2)

Рассуждая аналогично, можно построить также и другие графики, к примеру y = -0,5x построим в той же плоскости

Для начала заполним таблицу значений аргумента:

х -1 0 1
y 0,5 0 -0,5

График я нарисовал красным цветом

yotx.ru (3)

Как видите данный график также проходит через начало координат.

Вообще,

график прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0; 0).

Как вы еще заметили, график прямой пропорциональности симметричен относительно четвертей координатной плоскости, а значит, чтобы построить график вам потребуется найти лишь одно значение аргумента (одну точку x) и провести прямую через нее и через точку (0; 0).

 

Ну вроде по данному типу функций, я все рассказал, а значит, пора заканчивать урок. Всем спасибо.

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Функции и их графики. Часть 1

Сегодня, на уроке, мы познакомимся с таким понятием, как функция и попробуем разобраться, что такое график функции и с чем его едят. Тема довольно важная, поэтому, чтобы не упустить никаких деталей я разделю эту тему на два урока.

Что такое функция

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. К примеру, площадь круга зависит от радиуса, площадь квадрата зависит от длины его стороны, а масса бруска зависит от его объема и плотности.

Так вот в ближайшие уроки мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Пример №1 Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна – a, а площадь квадрата равна S. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так например,

если a = 8 см, то S = 8^2=64см2;

если a=12 м, то S = 12^2=144 м2;

если a=0,3мм, то S=0,3^2 = 0,09 мм2

и так далее…

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой:

S=a^2,

где a – независимая переменная (задается произвольно), а S – зависимая переменная (получается в результате вычислений).


 

Пример №2 Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения автомобиля (t).

Обозначим время – t, а расстояние, пройденное автомобилем – s.

Например,

если t = 3 часа, то S = 50*3=150 км

если t = 1,2 часа, то S = 50*1,2 = 60км

и так далее…

В данном случае, зависимость переменной s, от переменной t выражается формулой:

s = 50t,

где t – независимая переменная, а s – зависимая переменная.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или просто функцией.

Вычисление значений функции по формуле

Функции, которые мы рассматривали выше, задавались различными способами. Наиболее распространенным способом является задание функции при помощи формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента, находить соответствующее значение функции путем преобразований и вычислений.

Пример №3

Пусть функция задана формулой y=\frac{4x+7}{3}, где  -2 ≤ x 2

Найдем значения функции для целых значений аргумента.

В нашем случае значения аргумента будут: -2, -1, 0, 1 и 2.

Чтобы найти значение функции для каждого значения аргумента нужно подставить все значения в нашу функцию,

т.е. при х = -2 имеем y=\frac{4*(-2)+7}{3} = \frac{-1}{3}

и так для всех оставшихся значений

Проще всего сделать таблицу:

x -2 -1 0 1 2
y -1/3 1 7/3 11/3 5

Мы составили таблицу значений функции с шагом – 1.  Здесь, в исходном примере была указана область определения функции, но бывает, что область определения D(y) не указывается вовсе, тогда мы принимаем за х все возможные значение, кроме тех, которые запрещены правилами. К счастью, вы знаете пока только одно правило «делить на ноль нельзя!», но есть и другие и о них вы узнаете позже. Чтобы было проще понять представим две функции:

y = 6(5x+4) и y = \frac{13+7x}{x-1}

Для первой функции область определения — вся числовая прямая, т.е. x может принимать абсолютно любое значение.

Для второй функции область определения — вся числовая прямая, кроме х = 1, при котором знаменатель обращается в ноль.

С помощью формулы можно найти и значение аргумента при заданном значении функции. Т.е. при известном y нужно будет найти неизвестное значение x.

На следующем уроке мы с вами научимся строить графики функций на плоскости.

Пример №4 Найти область определения функции

а) y=x^2+8

D(y) — вся числовая прямая

б) y= \frac{1}{x-1}

D(y) — вся числовая прямая, кроме x-1 = 0 ⇒ x = 1

в) y=\frac{4x-1}{5}

D(y) — вся числовая прямая

Здесь решать особо нечего можно и в уме просчитать все.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.