элементарный исход

Статистическое определение вероятности

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Если событие может привести к n различным равновозможным исходам и если в m случаях появится признак A, то относительная частота (частость) события A обозначается r(A) и равна отношению m к n:

r(A)=\frac{m(A)}{n}

Это так называемое статистическое (комбинаторное) определение вероятности. Событие A, для которого относительная частота r(A) при достаточно больших n мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число P(A), около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

P(A)=r_n(A),  при n → ∞

Вероятности P(A) обладают свойствами, аналогичные свойствам частости:

  1.  Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
  2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю: P(Ø) = 0.
  3.  Статистическая вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.

ПРИМЕР 10. При подбрасывании идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна P(A) = 0,5. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор n m(A) r_n(A)
Ж.Л.Л. Бюффон 4040 2048 0,5069
К. Пирсон 12000 6019 0,5016
К. Пирсон 24000 12012 0,5005

ПРИМЕР 11. Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой была десятка червей?

Решение. Так как в колоде всего одна карта десятка червей (если вы, конечно, не шулер), то частость (относительная частота) появления десятки равна 1/36. Вспомним, что r(A) = m/n. Отсюда выведем «n», n = m / r(A). В нашем случае m = 1, тогда n = 36.

Ответ: 36 опытов

 

На этом все! Всем спасибо  за внимание!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Пространство элементарных событий. Случайные события

События. Операции над событиями

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при извлечении карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем  вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событие – U, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие – V, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие А, которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие A+B (AB), заключающееся в том, что  из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие AB (AB), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие A \ B называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

  • A+B=B+A и AB=BA — коммутативность сложения и умножения;
  • A+(B+C)=(A+B)+C  и A(BC)=(AB)C — ассоциативность сложения и умножения;
  • A(B+C)=AB+AC; A+BC=(A+B)(A+C) — законы дистрибутивности.

Элементарные исходы

Предположим, что среди всех возможных событий A, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

  • во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;
  • во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
  • в-третьих, каково бы ни было событие A, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой ω, а их совокупность Ω называется пространством элементарных событий.

Достоверное событие U, наступающее в результате любого из элементарных исходов ω, при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: U = Ω.

Невозможное событие V, не наступающее ни при каком элементарном исходе ω, совпадает с пустым множеством и обозначается: V = Ø.

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если А∩В = Ø (т.е. событие невозможно).

События E_1,E_2,...,E_n — образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и E_1E_2E_3∪…∪E_k=\bigcup_k E_k = E_k, т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

ПРИМЕР 1. Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) А + В; б) АВС; в) АС-В?

Решение:

а) Событие А + В состоит в том, что победитель награжден призом, или премией, или призом и премией одновременно.

б) Событие ABC состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно.

в) Событие АС-В состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна.

объединение множеств (1) объединение множеств (2) пересечение множеств
разность множеств (1) разность множеств (2) отрицание

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий Ω.

ПРИМЕР 9. Описать пространство элементарных событий следующего опыта. Брошены две игральные кости.

Решение. Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел ω = (a, b), где а — число очков на первой костиb – число очков на второй кости. Известно, что (1 ≤ a, b ≤ 6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

Ω = \begin{Bmatrix} {\omega}_1=(1,1) & {\omega}_2=(2,1) & {\omega}_3=(3,1) &{\omega}_4=(4,1) & {\omega}_5=(5,1) & {\omega}_6=(6,1) \\ {\omega}_7=(1,2) & {\omega}_8=(2,2) & {\omega}_9=(3,2) & {\omega}_{10}=(4,2) & {\omega}_{11}=(5,2) & {\omega}_{12}=(6,2) \\ {\omega}_{13}=(1,3) & {\omega}_{14}=(2,3) & {\omega}_{15}=(3,3) & {\omega}_{16}=(4,3) & {\omega}_{17}=(5,3) & {\omega}_{18}=(6,3)\\{\omega}_{19}=(1,4) & {\omega}_{20}=(2,4) & {\omega}_{21}=(3,4) & {\omega}_{22}=(4,4) & {\omega}_{23}=(5,4) & {\omega}_{24}=(6,4) \\ {\omega}_{25}=(1,5) & {\omega}_{26}=(2,5) & {\omega}_{27}=(3,5) & {\omega}_{28}=(4,5) & {\omega}_{29}=(5,5) & {\omega}_{30}=(6,5) \\ {\omega}_{31}=(1,6) & {\omega}_{32}=(2,6) & {\omega}_{33}=(3,6) & {\omega}_{34}=(4,6) & {\omega}_{35}=(5,6) & {\omega}_{36}=(6,6) \end{Bmatrix}

 

На этом я заканчиваю, т.к. по данной теме мне дополнить уже нечего. Всем спасибо за внимание!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.