Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Случайные события. Решение задач

На данном уроке мы подведем итоги большого раздела теории вероятностей «Случайные события». Будем решать задачи и учиться понимать, в каком случае используется та или иная теорема. Потому что если сейчас этого не понять, то в разделе «Случайные величины» вы просто напросто запутаетесь, потому что она сложнее.

Прежде повторим основные формулы:

Формула полной вероятности:

\boxed{\bf{P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i) \cdot P(A/H_i)}}

Формула Байеса (используется в тех случаях, когда событие уже произошло):

\boxed{\bf{P(H_i / A)=\dfrac{P(H_i) \cdot P(A/H_i)}{\sum_{i=1}^{n}P(H_i) \cdot P(A/H_i)}}}

Формула Бернулли (используется в тех случаях, где есть всего две возможности: удача либо неудача):

\boxed{\bf{P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}}}

Задача №1

На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий всего объема их производства, на второй – 30 %, на третьей – 50 %. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95, 98 и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Решение:

Событие еще не произошло, значит, формулой Байеса пользоваться нельзя.

Формулой Бернулли пользоваться также нельзя, потому что имеется три линии, у каждой своя производительность и каждая имеет свой процент годности, а схема Бернулли предполагает одинаковую вероятность успеха и неуспеха. 

Следовательно, остается формула полной вероятности, ей и воспользуемся.

В первую очередь, обозначим событие и возможные гипотезы:

A = {взятое наугад изделие окажется бракованным}

Гипотезами будем предполагать, с какой именно линии окажется бракованное изделие, т.е.

H_1 = {взятое изделие произведено на первой линии}

H_2 = {взятое изделие произведено на второй линии}

H_3 = {взятое изделие произведено на третьей линии}

Вероятность исхода той или иной гипотезы у нас уже есть в условии:

P(H_1) = 0,2              P(H_2) = 0,3               P(H_3)=0,5

Теперь зададим условные вероятности:

A/H_1 = {взятое изделие бракованное и произведено на первой линии}

A/H_2 = {взятое изделие бракованное и произведено на второй линии}

A/H_3 = {взятое изделие бракованное и произведено на третьей линии}

У нас имеются коэффициенты годности, а значит коэффициенты брака можно найти, как обратный от коэффициента годности:

P(A/H_1) = 1-0,95=0,05       P(A/H_2) = 1-0,98=0,02   P(A/H_3) = 1-0,97=0,03 

Вот и все, теперь мы имеем все данные, чтобы воспользоваться формулой полной вероятности:

P(A) = P(H_1) \cdot P(A/H_1) + P(H_2) \cdot P(A/H_2) + P(H_2) \cdot P(A/H_2) = 0,2\cdot 0,05+0,3\cdot 0,02+0,5\cdot 0,03=0,01+0,006+0,015=0,031

Ответ: вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным составляет 0,031 или 3,1%

Задача №2

В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение:

Чтобы было проще понять условие давайте сделаем рисунок к задаче:

задача 110

Есть шары черные и есть шары белые, а шары, которые я обозначил двумя цветами могут быть, как черными, так и белыми. Нам нужно вычислить вероятность того, что из второй коробки мы вытащим белый шар.

Шар еще не вытащили, а значит используется формула полной вероятности.

Обозначим событие и возможные гипотезы:

A = {из второй коробки извлечен белый шар}

H_1 = {извлечены три черных шара}

H_2 = {извлечены два черных и один белый шар}

H_3 = {извлечен один черный и два белых шара}

H_4 = {извлечены три белых шара}

Теперь найдем вероятности данных гипотез (само вычисление я не буду расписывать, я надеюсь вы знаете, как работать с факториалами, а если нет, найдите на сайте соответствующую тему):

P(H_1) = \dfrac{C_4^3}{C_{10}^3} = \dfrac{4!}{3!} \cdot \dfrac{7! \cdot 3!}{10!}=\dfrac{1}{30}

P(H_2) = \dfrac{C_4^2 \cdot C_6^1}{C_{10}^3} = \dfrac{4!}{2!\cdot2!}\cdot \dfrac{6!}{5!} \cdot \dfrac{7! \cdot 3!}{10!}=\dfrac{3}{10}

P(H_3) = \dfrac{C_4^2 \cdot C_6^1}{C_{10}^3} = \dfrac{6!}{4!\cdot2!} \cdot \dfrac{4!}{3!} \cdot \dfrac{7! \cdot 3!}{10!}=\dfrac{1}{2}

P(H_4) = \dfrac{C_6^3}{C_{10}^3} = \dfrac{6!}{3!\cdot 3!} \cdot \dfrac{7! \cdot 3!}{10!}=\dfrac{1}{6}

Теперь надо найти условные вероятности, т.е. вероятность достать белый шар при условии, что подтвердилась первая гипотеза или вторая гипотеза и т.д.

Найти условные вероятности проще всего устно, я покажу, как найти первую, а остальное вы уже сами сможете рассчитать.

Итак, согласно первой гипотезе мы извлекли три черных шара, а по условию задачи, так как они в большинстве опускаем их все во вторую урну, там теперь будет лежать 3 белых шара и 5 черных, а значит, вероятность извлечь белый шар будет равна \dfrac{3}{3+5}

Со второй гипотезой точно также, только теперь во вторую урну опускают всего два черных шара, и так теперь будут лежать 3 белых шара и 4 черных, а вероятность извлечь белый шар будет: \dfrac{3}{3+4}

Ну остальное вы сами сможете найти, главное мысленно все представляйте, при решении задач по теории вероятностей очень важно иметь воображение.

P(A/H_1)=\dfrac{3}{8}    P(A/H_2)=\dfrac{3}{7}     P(A/H_3)=\dfrac{5}{7}     P(A/H_4)=\dfrac{6}{8}

Ну а теперь, когда все данные известны воспользуемся формулой полной вероятности:

P(A)=\dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6}{8} = 0,623

Ответ: вероятность извлечь белый шар из второй урны равна 0,623 или 62,3%.

Задача №3

Для участия в соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй – 6, из третьей – 5. Вероятности того, что отобранный студент попадет из первой, второй, третьей групп в сборную института, равны соответственно 0,5; 0,4;  0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой их этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

Решение:

Согласно условию, участник попал в сборную, а значит, событие уже произошло. Следовательно, используем формулу Байеса, но сперва, конечно, нужно будет найти полную вероятность данного исхода.

A = {игрок попал в сборную}

H_1 = {выбран студент из 1-ой группы}

H_2 = {выбран студент из 2-ой группы}

H_3 = {выбран студент из 3-ей группы}

Всего студентов: 4 + 6 + 5 = 15

P(H_1)=\dfrac{4}{15}      P(H_2)=\dfrac{6}{15}       P(H_2)=\dfrac{5}{15}

Условные вероятности того, что игрок попал в сборную, если наудачу выбран игрок из 1-ой (2-ой и 3-ей) группы уже имеются в условии:

P(A/H_1)=0,5     P(A/H_1)=0,4    P(A/H_1)=0,3

Используем формулу полной вероятности:

P(A)=\dfrac{4}{15} \cdot 0,5 + \dfrac{6}{15} \cdot 0,4 + \dfrac{5}{15} \cdot 0,3 = 0,39

Ну и наконец, найдем при помощи формулы Байеса вероятности студентов каждой группы попасть в сборную:

P(H_1/A)=\dfrac{\dfrac{4}{15} \cdot 0,5}{0,39}= 0,34

P(H_2/A)=\dfrac{\dfrac{6}{15} \cdot 0,4}{0,39}= 0,40

P(H_2/A)=\dfrac{\dfrac{5}{15} \cdot 0,3}{0,39}= 0,26

Ответ: вероятнее всего игрок принадлежит 2-ой команде (с вероятностью около 40%)

Задача №4

Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий хотя бы три их них прекратят свою деятельность?

Решение:

Как мы видим из условия, у данных событий имеется лишь два исхода: либо предприятие прекратит свою деятельность, либо же продолжит работу. Причем, вероятность успеха, как и неудачи у всех предприятий равна. А значит, в задаче используется формула Бернулли.

Итак, что мы имеем:

n = 6 — всего предприятий;

«Хотя бы 3» означает, что из шести прекратят свою работу либо 3, либо 4, либо 5, либо 6 3 \le k \le 6

Также у нас имеется вероятность успеха (в нашем случае успех — прекращение деятельности) p = 0,1

Ну а вероятность неуспеха находится как q = 1 - p = 0,9

Ну и все, теперь, используя формулу Бернулли, выявим вероятности всех возможных событий:

Вероятность того, что ровно три предприятия прекратят работу:

P_6(3) = C^3_6 \cdot 0,1^3 \cdot 0,9^{6-3} = 0,0146

Вероятность того, что ровно четыре предприятия прекратят работу:

P_6(4) = C^4_6 \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^{6-4} = 0,0012

P_6(5) = C^5_6 \cdot 0,1^5 \cdot 0,9^{6-5} = 0,000054

P_6(6) = C^6_6 \cdot 0,1^6 \cdot 0,9^{6-6} = 0,000001

Ну и так как используются союзы «либо» мы должны сложить все полученные вероятности:

P_6(3 \le k \le 6)=0,0146+0,0012+0,000054+0,000001 = 0,015855

Ответ: вероятность того, что хотя бы три предприятия прекратят свою деятельность примерно равна 0,0159 или 1,59%.

Задача №5

Определить число n повторных независимых испытаний, которое нужно произвести для того, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 20, если вероятность появления этого события при каждом испытании равна 0,8.

Решение:

Здесь все еще проще, используем формулу для нахождения наивероятнейшего числа появлений события:

m_0=np+p

Из условий нам дано:

m_0 = 20

p=0,8

Подставляем числа в формулу и находим n:

20=0,8n+0,8

0,8n = 19,2

n=19,2 : 0,8

n = 24

Ответ: нужно провести 24 повторных независимых испытания.

К сожалению, лимит статьи ограничен, я итак его немного превысил, но в общем я рассказал практически о всех задачах в разделе теории вероятностей «Случайные события». Дальше мы переходим к следующему более сложному разделу «Случайные величины».

Updated: 08.07.2018 — 14:55

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme