Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений (СЛУ) относительно n неизвестных x_1, x_2, \dots, x_n имеет вид:

    \[  \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2+ \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \hdotsfor{3} \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+ \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

,

где a_{ij} и b_i — числовые коэффициенты.

Виды систем линейных уравнений

Виды СЛУ

ПРИМЕР №1

    \[  \begin{cases} x_1+x_2=5 \\ x_1-x_2=0  \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} 2x_1 \qquad =5 \\ x_1-x_2=0  \end{cases} \Leftrightarrow   \begin{cases} x_1^*=2,5 \\ x_2^*=2,5  \end{cases} \]

Как видно система имеет решение, причем одно единственное, отсюда следует — данная система совместная определенная.

Покажем это графически, для этого построим график двух функций и посмотрим, сколько точек пересечения у этих графиков существует.

График обоих функций — это прямая, а значит, нам достаточно взять по две точки.

график функций 1

Как мы видим графически у данной системы имеется всего одно решение, а именно точка, с координатами (2,5; 2,5)

ВЫВОД: это совместная определенная система линейных уравнений.


 

ПРИМЕР №2

    \[  \begin{cases} x_1+x_2=5 \\ -2x_1-2x_2=-10  \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} x_1+x_2=5 \\ x_1 = 5 - x_2, x_2 \in R \end{cases}  \]

При решении данной системы мы выявили, что точка x_2 имеет бесконечно много значений, в принципе, как и точка x_1, следовательно данная система совместная неопределенная. Графически это показано тем, что обе функции системы лежат на одной прямой.


ПРИМЕР №3

    \[  \begin{cases} x_1+x_2=5 \\ x_1+x_2=5  \end{cases}  \]

Данная система не имеет решений, потому что два одинаковых неизвестных не могут быть равны одновременно одному числу. Следовательно, данная система несовместная. Графически это будет выглядеть, как две параллельные прямые, которые никогда не пересекутся.

Матрица коэффициентов

Матрица

    \[  \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{21} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}  \]

называется матрицей коэффициентов системы.

Матрица

Расширенная матрица коэффициентов

называется расширенной матрицей коэффициентов.

Столбец

 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}

называется столбцом (вектором) неизвестных.

Столбец

 \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

называется столбцом свободных членов.

Учитывая матричные обозначения, система линейных уравнений эквивалентно одному матричному уравнению:

\underset{m \times n} Ax=b

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme