Решение систем линейных уравнений методом Крамера

На данном уроке мы рассмотрим систему линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей коэффициентов и научимся решать такие системы одним из простейших способов при помощи формул Крамера.

Но прежде, чем перейти непосредственно к решению примеров, где будет все очень просто, я обещаю. Я попытаюсь вывести эту формулу. Здесь возможно будет трудно, но тем, кому нужно просто научиться решать данным методом просто переходите к примерам и не заморачивайтесь.

Выведение формулы Крамера

Рассмотрим систему:

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \hdotsfor{3} \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

и будем предполагать, что определитель данной матрицы не равен нулю: |A| \not = 0

Тогда, сократим матрицу до обычного уравнения и решим его:

Ax = b

Так как у нас по условию определитель не равен нулю, значит, существует обратная матрица:

|A| \not= 0 \Rightarrow \exists A^{-1}

Домножим обе части уравнения на A^{-1} слева:

A^{-1}Ax=A^{-1}b

Мы знаем, что матрица, умноженная на обратную матрицу будет равна единичной матрице:

Ex=A^{-1}b

Также согласно свойствам матрицы, умножив на единичную матрицу ничего не изменится:

x=A^{-1}b

Теперь, зная, как найти x перейдем к покомпонентной записи решений (т.е. вернемся назад к матрице):

x_i=(A^{-1}b)_i = \Biggl( \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{bmatrix} b \Biggr) _i =

= \frac{b_1A_{1i} + b_2A_{2i} + \dots + b_nA_{ni}}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & b_2 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{\Delta_i}{\Delta},

где \Delta = |A|, а \Delta_i — определитель, получающийся из определителя матрица А заменой i-го столбца на столбец свободных членов b.

Как вы поняли, я надеюсь, это и есть формулы Крамера, по которым мы и будем учиться решать уравнения:

    \[ \boxed{x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}, i=1,2, \dots, n} \qquad \]

Использование формул Крамера

Первый пример, я рассмотрю более подробно и думаю, если вы сможете вникнуть, то без проблем сможете решать похожие уравнения.

ПРИМЕР №1

 \begin{cases} 2x_1+x_2-3x_3 = -1 \\ -x_1\qquad +2x_3 = 1\\ 5x_1-x_2-x_3 = 14 \end{cases}

В первую очередь, запишем систему линейных уравнений в виде квадратной матрицы

 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{bmatrix} \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 14 \end{bmatrix}

Далее, вычислим определитель, получившейся матрицы (надеюсь вы не забыли, как это делается, если что подглядите соответствующую тему):

\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10-3+4-1 = 10

Следующим шагом, заменим первый столбец матрицы столбцом свободных членов (b) и поочередно проделаем это с каждым столбцом:

\Delta_1 = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 14 \\ -1 & 0 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 28+3-2+1 = 30

\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 14 \\ 5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -2-10+42+15-56+1 = -10

\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 14 \end{vmatrix} = 5-1+2+14=20

Ну и наконец, подставим полученные результаты в формулу, которую мы вывели в первой части урока:

x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{30}{10}=3

x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-10}{10}=-1

x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{20}{10}=2

Это и есть корни нашей системы уравнений, можно проверить, подставив значения в одно из уравнений системы, к примеру, подставим в третье:

5 \cdot 3- (-1) - 2 = 15+1-2=14

Как видим, ответ сошелся. Значит система решена верно!

Ответ: x_1 = 3; x_2 = -1; x_3 = 2

Что ж, это был самый простейший способ решения системы линейных уравнений, потому что для решения данным методом нужно просто запомнить формулу из двух значений и уметь находить определители. Конечно, есть и другие способы, в частности методом Гаусса и методом обратной матрицы, но о них мы поговорим уже на следующих уроках.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *