Пространство элементарных событий. Случайные события

События. Операции над событиями

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при извлечении карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем  вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событие – U, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие – V, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие А, которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие A+B (AB), заключающееся в том, что  из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие AB (AB), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие A \ B называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

  • A+B=B+A и AB=BA — коммутативность сложения и умножения;
  • A+(B+C)=(A+B)+C  и A(BC)=(AB)C — ассоциативность сложения и умножения;
  • A(B+C)=AB+AC; A+BC=(A+B)(A+C) — законы дистрибутивности.

Элементарные исходы

Предположим, что среди всех возможных событий A, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

  • во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;
  • во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
  • в-третьих, каково бы ни было событие A, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой ω, а их совокупность Ω называется пространством элементарных событий.

Достоверное событие U, наступающее в результате любого из элементарных исходов ω, при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: U = Ω.

Невозможное событие V, не наступающее ни при каком элементарном исходе ω, совпадает с пустым множеством и обозначается: V = Ø.

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если А∩В = Ø (т.е. событие невозможно).

События E_1,E_2,...,E_n — образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и E_1E_2E_3∪…∪E_k=\bigcup_k E_k = E_k, т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

ПРИМЕР 1. Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) А + В; б) АВС; в) АС-В?

Решение:

а) Событие А + В состоит в том, что победитель награжден призом, или премией, или призом и премией одновременно.

б) Событие ABC состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно.

в) Событие АС-В состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна.

объединение множеств (1) объединение множеств (2) пересечение множеств
разность множеств (1) разность множеств (2) отрицание

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий Ω.

ПРИМЕР 9. Описать пространство элементарных событий следующего опыта. Брошены две игральные кости.

Решение. Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел ω = (a, b), где а — число очков на первой костиb – число очков на второй кости. Известно, что (1 ≤ a, b ≤ 6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

Ω = \begin{Bmatrix} {\omega}_1=(1,1) & {\omega}_2=(2,1) & {\omega}_3=(3,1) &{\omega}_4=(4,1) & {\omega}_5=(5,1) & {\omega}_6=(6,1) \\ {\omega}_7=(1,2) & {\omega}_8=(2,2) & {\omega}_9=(3,2) & {\omega}_{10}=(4,2) & {\omega}_{11}=(5,2) & {\omega}_{12}=(6,2) \\ {\omega}_{13}=(1,3) & {\omega}_{14}=(2,3) & {\omega}_{15}=(3,3) & {\omega}_{16}=(4,3) & {\omega}_{17}=(5,3) & {\omega}_{18}=(6,3)\\{\omega}_{19}=(1,4) & {\omega}_{20}=(2,4) & {\omega}_{21}=(3,4) & {\omega}_{22}=(4,4) & {\omega}_{23}=(5,4) & {\omega}_{24}=(6,4) \\ {\omega}_{25}=(1,5) & {\omega}_{26}=(2,5) & {\omega}_{27}=(3,5) & {\omega}_{28}=(4,5) & {\omega}_{29}=(5,5) & {\omega}_{30}=(6,5) \\ {\omega}_{31}=(1,6) & {\omega}_{32}=(2,6) & {\omega}_{33}=(3,6) & {\omega}_{34}=(4,6) & {\omega}_{35}=(5,6) & {\omega}_{36}=(6,6) \end{Bmatrix}

 

На этом я заканчиваю, т.к. по данной теме мне дополнить уже нечего. Всем спасибо за внимание!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *