Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Случайные события

Случайные события и операции над событиями

Случайным событием называется событие, которые может осуществиться или не осуществиться при выполнении комплекса условий G.

Случайные события обозначаются латинскими буквами.

Достоверным событием называется событие.ю которые всегда осуществляется при выполнении комплекса условий G.

Достоверное событие обозначается Ω

Невозможным событием называется событие, которое никогда не осуществляется при выполнении комплекса условий G.

Невозможное событие обозначается Ø

Пример: Комплекс условий G — подбрасывание игральной кости.

Ø = {выпало число 7}

Ω = {выпало число не меньшее 1}

А = {выпало четное число}

В = {выпало число больше 4}

С = {выпало число 3}

Операции над случайными событиями

Введем два случайных события А и В.

Суммой событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении по крайней мере одного из этих событий.

A+B \quad (A \cup B)

Произведением событий А и В называется событие, состоящее в одновременном осуществлении события А и В.

A \cdot B \quad (A \cap B)

Разностью событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении события А и не осуществлении события В.

A-B \quad (A \setminus B)

Событие А и В называются несовместными, если они не могут осуществиться одновременно, т.е.

A \cdot B = \O

Событие \bar A называется противоположным событию А, если оно осуществляется всякий раз, когда не осуществляется событие А

A \cdot \bar A = \O, \quad A + \bar A = \Omega

Событие А влечет событие В, если событие В осуществляется всякий раз, когда осуществляется событие А

A \subset B

События A_1, A_2, ..., A_n образуют полную группу событий, если сумма всех этих событий A_1 + A_2+...+A_n=\Omega.

Все операции наглядно можно представить при помощи диаграмм Эйлера-Венна:

объединение множеств (1) объединение множеств (2) пересечение множеств
разность множеств (1) разность множеств (2) отрицание

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий Ω.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

  • A+B=B+A и AB=BA — коммутативность сложения и умножения;
  • A+(B+C)=(A+B)+C  и A(BC)=(AB)C — ассоциативность сложения и умножения;
  • A(B+C)=AB+AC; A+BC=(A+B)(A+C) — законы дистрибутивности.

Элементарные исходы

Предположим, что среди всех возможных событий A, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

  • во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;
  • во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
  • в-третьих, каково бы ни было событие A, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой ω, а их совокупность Ω называется пространством элементарных событий или достоверным событием.

Решение задач

Разберем всего один пример на описание пространства элементарных событий.

Задача №1

Описать пространство элементарных событий следующего опыта. Брошены две игральные кости.

Решение:

Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел ω = (a, b), где а — число очков на первой кости, b – число очков на второй кости. Известно, что (1 ≤ a, b ≤ 6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

\Omega = \begin{Bmatrix} {\omega}_1=(1,1) & {\omega}_2=(2,1) & {\omega}_3=(3,1) &{\omega}_4=(4,1) & {\omega}_5=(5,1) & {\omega}_6=(6,1) \\ {\omega}_7=(1,2) & {\omega}_8=(2,2) & {\omega}_9=(3,2) & {\omega}_{10}=(4,2) & {\omega}_{11}=(5,2) & {\omega}_{12}=(6,2) \\ {\omega}_{13}=(1,3) & {\omega}_{14}=(2,3) & {\omega}_{15}=(3,3) & {\omega}_{16}=(4,3) & {\omega}_{17}=(5,3) & {\omega}_{18}=(6,3)\\{\omega}_{19}=(1,4) & {\omega}_{20}=(2,4) & {\omega}_{21}=(3,4) & {\omega}_{22}=(4,4) & {\omega}_{23}=(5,4) & {\omega}_{24}=(6,4) \\ {\omega}_{25}=(1,5) & {\omega}_{26}=(2,5) & {\omega}_{27}=(3,5) & {\omega}_{28}=(4,5) & {\omega}_{29}=(5,5) & {\omega}_{30}=(6,5) \\ {\omega}_{31}=(1,6) & {\omega}_{32}=(2,6) & {\omega}_{33}=(3,6) & {\omega}_{34}=(4,6) & {\omega}_{35}=(5,6) & {\omega}_{36}=(6,6) \end{Bmatrix}

Думаю, что прорешивать по данной теме особо ничего не нужно, главное запомнить, а лучше понять теорию.

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme