Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Непрерывная случайная величина. Плотность распределения

Плотность распределения

Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю. Для непрерывной случайной величины вероятность попасть на интервал равна:

P(a<X<b)=P(a \le X \le b) = F(b)-F(a)

Пусть имеется непрерывная СВ X с функцией распределения F(x), которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от x до , x+Δx то есть приращение функции распределения на этом участке:

P(x < X < x+ \Delta x)=F(x+ \Delta x)-F(x)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим Δx к 0. В пределе получим производную функции распределения:

\lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{F(x+ \Delta x)-F(x)}{\Delta x} = F'(x)= \rho (x)

Функция ρ(x) — производная функции распределения характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины X .

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, так как ρ(x) существует только для непрерывных СВ.

Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения ρ(x) и элементарный участок, dx примыкающий к точке x.

Вероятность попадания СВ X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна ρ(x)dx. Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx:

Вероятность попадания на элементарный  интервал

Выразим вероятность попадания СВ X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, то есть интегралу:

P(\alpha \le X \le \beta) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho(x) \,dx

Геометрически вероятность попадания величины X на отрезок [α, β] равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок:

Вероятность попадания на интервал

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения является неотрицательной функцией: \rho \le 0. Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F(x) неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \rho(x) \,dx=F(\infty)-F(-\infty)=1

Геометрически основные свойства плотности распределения означают:

  • кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
  • площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров

Решение задач

Задача №1

Функция распределения непрерывной СВ X равна:

F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0; \\ ax^2, & 0 < x \le 1; \\ 1, & x > 1. \end{cases}

Необходимо найти: коэффициент a, плотность распределения f(x) и, наконец, вероятность P(0,25 < x < 0,5).

Решение:

а) Сперва найдем коэффициент а. Так как функция распределения F(x) непрерывная функция, то при х = 1, ax^2=a \cdot 1^2=1.

Отсюда а = 1.

б) Далее ищем плотность распределения. А плотность распределения — это производная от функции распределения:

f(x)=F'(x)=\begin{cases} 0, & x \le 0; \\ 2x, & 0 < x \le 1; \\ 0, & x > 1. \end{cases}

в) Вероятность попадания на интервал также очень просто находится (достаточно подставить значения х в функцию распределения):

P(0,25 < x < 0,5) = F(0,5) - F(0,25) = 0,25 - 0,0625 = 0,1875

Ответ: а = 1, вероятность попадания в интервал от 0,25 до 0,5 составляет 0,1875 или 18,75%

Задача №2

Возьмем немного посложнее задачку:

Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

f(x)=\begin{cases} a cosx, & x \in \biggl[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \biggr]; \\ 0, & x \not \in \biggl[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \biggr]. \end{cases}

Необходимо: a) найти коэффициент a; б) построить график плотности распределения f(x); в) найти F(x) и построить график; г) найти вероятность попадания случайной величины X на участок \biggl[0, \dfrac{\pi}{4} \biggr].

Решение:

а) О том как найти коэффициент а из функции распределения мы уже поняли и это довольно просто. Но что если у нас нет функции распределения, а представлена только плотность распределения? Очевидно, чтобы найти коэффициент а из плотности распределения нужно вычислить определенный интеграл от заданного отрезка:

\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\,cosx \,dx = 2a = 1, a = \dfrac{1}{2}

б) С построением графика плотности распределения возникнуть проблем не должно:

график плотности

в) Если плотность распределения — это производная от функции распределения. Следовательно, функция распределения — это интеграл от плотности распределения с интервалом от минус бесконечности до х:

\boxed {\bf {F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} f(x) \, dx}}

F(x) = \begin{cases} 0, & x < -\dfrac{\pi}{2}; \\ \dfrac{sinx+1}{2}, & -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}; \\ 1, & x > \dfrac{\pi}{2}. \end{cases}

График будет выглядеть следующим образом:

график функции рас

г) Мы уже нашли функцию распределения, а значит, вероятность попадания на интервал находим также, как и в предыдущем примере:

P(0 < x < \dfrac{\pi}{4}) = F(\dfrac{\pi}{4}) - F(0) = \dfrac{sin(\frac{\pi}{4})+1- sin (0) + 1}{2} = \dfrac{\sqrt2}{4}

На этом все!

Updated: 28.07.2018 — 12:29

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme