Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Математическое ожидание и его свойства

Математическое ожидание

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины ξ называется постоянная (константа), обозначаемая символом M_{\xi} или M [X] и определяемая равенством:

\boxed{\bf {\bar x = m_x = M_x= \begin{cases} \sum \limits_{-\infty}^{\infty} x_i \cdot p_i \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} x \cdot \rho(x)\,dx \end{cases}}}

Причем верхняя строка (с суммой) относится для дискретной случайной величины, а нижняя строка (с интегралом) относится для непрерывной СВ.

Свойства мат. ожидания

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: \boxed{M[C]=C}
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: \boxed{M[kX]=k \cdot M[X]}
  3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий: \boxed{M[\sum\limits_{i=1}^nX_i]=\sum\limits_{i=1}^n M[X_i]}
  4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: \boxed{M[XY]=M[X] \cdot M[Y]}
  5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю. Пусть математическое ожидание СВ Х равно а, тогда

M[X-M[X]]=M[X-a]=M[X]-a=a-a=0

Математическое ожидание – одна из характеристик положения СВ. С этой точки зрения математическое ожидание СВ – есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и заменяю- щее СВ при грубых (ориентировочных) расчетах.

Решение задач

Задача №1

Два стрелка решили узнать, кто из них стреляет лучше. Они сделали по 8 выстрелов. Известны законы распределения СВ X и Y числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками:

X x_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
p_i 0,15 0,1 0,13 0,12 0,13 0,12 0,06 0,1 0,09
Y x_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
p_i 0,15 0,08 0,16 0,09 0,11 0,11 0,09 0,15 0,06

Решение:

Лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков, а значит, найдем мат. ожидание каждого:

M[X]=0\cdot0,15 +1\cdot0,1+2\cdot0,13+3\cdot0,12+4\cdot0,13+5\cdot0,12+6\cdot0,06+7\cdot0,1+8\cdot0,09=3,62

M[Y]=0\cdot0,15 +1\cdot0,08+2\cdot0,16+3\cdot0,09+4\cdot0,11+5\cdot0,11+6\cdot0,09+7\cdot0,15+8\cdot0,06=3,73

Как видим из полученных результатов второй стрелок выбивает очков больше, а значит, он стреляет лучше.

Ответ: второй стрелок стреляет лучше первого.

Задача №2

Найти математическое ожидание случайной величины Z=3X+4Y-5, если известно, что МХ = 3,  MY = 4

Решение:

Перепишем случайную величину, используя свойства 1, 2 и 3:

MZ = 3MX + 4MY - 5

А теперь просто подставим данные значения МХ и МY:

MZ = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 5 = 9 + 16 - 5 = 20

Ответ: M[Z] = 20.

Updated: 02.08.2018 — 12:02

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme