Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Классификация случайных величин

Несмотря на то, что еще пару тем в прошлом разделе мы не рассмотрели, их мы оставим на потом, мы переходим к новому разделу «Случайные величины«. Данный раздел немного сложнее, чем предыдущий, но если все внимательно изучить и вникнуть в темы, то все пройдет также легко и просто.

Случайные величины

Числовая величина ξ, значение которой может меняться в зависимости от случая, называется случайной величиной.

В рамках теоретико-вероятностной схемы, когда предполагаем, что имеется некоторое пространство Ω элементарных исходовω, случайной величиной ξ называют функцию от элементарных исходов ω: 

ξ = ξ(ω)

где ω ∈ Ω.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные.

Дискретные величины \xi=\xi(\omega), в зависимости от элементарных исходов ω принимает конечное или счетное число различных значений х с соответствующими вероятностями:

P_{\xi}(x)=P(\xi=x)

Здесь ξ = x обозначает, что случайная величина ξ принимает значение х, то есть \{\xi=x\}=\{\omega:\xi(\omega)=x\}.

Вероятность события x' \le \xi \le x'', состоящего в том, что случайная величина ξ принимает одно из значений х, лежащее в пределах x' \le \xi \le x'', есть

\boxed{\bf{P\{x' \le \xi \le x''\}=\sum_{x'}^{x''}P_{\xi}(x)}}

В данной формуле суммирование производится по конечному или счетному числу значений х, которые может принимать дискретная случайная величина ξ.

Соответствие между возможными значениями случайных величин и вероятностями этих значений называют распределением вероятностей случайных величин и обозначают: P_{\xi}(x).

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

x_i x_1 x_2 \cdots x_n
P_i p_1 p_2 \cdots p_n

Такую таблицу будем называть рядом распределения дискретной СВ.

События X=x_1, X=x_2, \cdots, X=x_n, состоящие в том, что в результате испытаний случайная величина X примет соответственно значения x_1, x_2, \cdots, x_n , являются несовместными и единственно возможными (в таблице перечислены все возможные значения СВ), то есть составляют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1.

Очевидно, что ряд распределения не универсальная характеристика. Нетрудно убедиться, что для непрерывной СВ такую характеристику построить нельзя (так как СВ имеет бесчисленное множество значений). Поэтому составить таблицу, в которой бы были перечислены все возможные значения СВ невозможно. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной СВ обычно не обладает никакой, отличной от нуля, вероятностью.

Однако различные области возможных значений СВ все же не являются одинаково вероятными и для непрерывной СВ существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для дискретной.

Решение задач

Задача

Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение:

В нашем случае случайная величина Х:

X = {число неизрасходованных патронов}

Их число может быть в диапазоне от 0 до 3. Стрелок израсходует весь боезапас, если первые три выстрела – «промахи», а результат четвертого – никак не скажется на оставшемся боезапасе. Останется один патрон, если стрелок дважды промахнется и попадет при третьем выстреле. Если спортсмен сначала промахнется, а затем попадет в мишень, у него останется два патрона, и, наконец, останется три патрона, если будет попадание при первом выстреле.

Строим таблицу:

x_i 0 1 2 3
p_i 0,064 0,096 0,24 0,6

Итак, начнем с 0, это значит, что неизрасходованных патронов не осталось, а следовательно, стрелок промазал три раза подряд. Вероятность промаха, находим, как обратное значение от вероятности попадания: 1-0,6=0,4. Чтобы найти вероятность трех промахов, можно воспользоваться формулой Бернулли, но немного ее сократив, ведь сочетание будет в данном случае всегда равно 1, а значит: p_0=0,4^3=0,064.

Если остается 1 патрон, значит, стрелок промахнулся дважды и на третий раз попал в цель: p_1=0,4^2 \cdot 0,6 = 0,096

Если остается 2 патрона, значит промах был всего один: p_2=0,4 \cdot 0,6 = 0,24

Ну и если остается 3 патрона, значит стрелок попал с первого раза: p_3=0,6. Занесем данные в таблицу.

Всегда проверяйте правильность ряда распределения, сумма всех вероятностей должна быть равна 1, проверим наш: 0,064+0,096+0,24+0,6=1

На следующем уроке мы познакомимся с интегральной функцией распределения и ее свойствами.

Updated: 09.07.2018 — 12:03

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme