Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/N. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в нижеследующих экспериментах.

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».
17
Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, «бросание» шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее:

  1. исход опыта является случайным;
  2. имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов;
  3. все эти исходы равновероятны. В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле:

P(A)=\frac{n(A)}{N}       1.12

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов; n(A) — число тех из них, которые приводят к событию А.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение. Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

N=\frac{32!}{2!*30!}=\frac{31*32}{1*2}=496

В карточной колоде имеется ровно четыре туза и число различных комбинаций, дающих два туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

n(A)=\frac{4!}{2!*2!}=\frac{24}{4}=6

И окончательно получаем,

P(A)=\frac{n(A)}{N}=\frac{6}{496}=0,012

Ответ: вероятность примерно равна 0,012 или 1,2%.

ПРИМЕР 2. Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая «даму». При объявлении ранга игры «играющему» приходится учитывать возможность образования у одного из «вистующих» – противников комбинации из трех оставшихся «червей». Какова вероятность этого события?

Решение. У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равна

N=C^{10}_{20}=\frac{20!}{10!*10!}

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

n(A)=\frac{17!}{7!*10!}

Отсюда следует

P(A)=\frac{n(A)}{N}=\frac{\frac{17!}{7!*10!}}{\frac{20!}{10!*10!}}=\frac{8*9*10}{18*19*20}=\frac{2}{9}=0,105

Вероятность появления третьей дамы у любого из «вистующих», очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 3. В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся исправными? 

Решение.

Введем следующие обозначения:

N = 30 — общее число машинок;

n = 20 — число исправных машинок;

m = 5 — отобранных в партию (подмножество) машинок;

k = 3 — число исправных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок равно числу сочетаний из N элементов по m, т.е. C^m_N. Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три исправные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k , т.е. C^k_n. С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из N-n элементов по m-k, т.е. C^{m-k}_{N-n}. Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) C^k_n*C^{m-k}_{N-n}. Согласно формуле (1.12), представленной вначале урока окончательно получаем:

P(A)=\frac{C^k_n*C^{m-k}_{N-n}}{C^m_N}        1.13

Теперь подставим численные значения и вычислим, наконец, нашу вероятность.

P(A)=\frac{C^3_{20}*C^{2}_{10}}{C^5_{30}}=0,36

Ответ: вероятность наступления данного события примерно 0,36 или 36%

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

 

На этом подходит к концу тема данного урока. Всем спасибо!

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

1 Комментарий

Добавить комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2017 Frontier Theme