Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Классическое определение вероятности

Вероятностью P(A) случайного события А называется числовая мера объективной возможности осуществления события А

Существует несколько подходов к определению вероятности, а именно классическое, геометрическое, статистическое и аксиоматическое.  В данной теме мы рассмотрим основное и самое важное определение — классическое определение вероятности.

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть, предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/n. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в нижеследующих экспериментах.

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «орел», выпала «решка».
Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1, 2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на n правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до n).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, «бросание» шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее:

  1. исход опыта является случайным;
  2. имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов;
  3. все эти исходы равновероятны. В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле:

P(A)=\dfrac{n(A)}{N}

где N – общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов; n(A) — число тех из них, которые приводят к событию А.

Таким образом, вероятность события А представляет собой отношение количества благоприятствующих наступлению события А сходов к общему числу исходов.

Решение задач

Задача №1

В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся исправными? 

Решение:

Введем следующие обозначения:

n = 30 — общее число машинок;

m = 20 — число исправных машинок;

k = 5 — отобранных в партию (подмножество) машинок;

r = 3 — число исправных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по m машинок равно числу сочетаний из n элементов по k, т.е. C^k_n. Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три исправные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из m элементов по k , т.е. C^r_m.

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из n-m элементов по k-r, т.е. C^{k-r}_{n-m}. Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика – правило произведения) C^r_m \cdot C^{k-r}_{n-m}. Согласно формуле, представленной вначале урока окончательно получаем:

P(A)=\dfrac{C^r_m \cdot C^{k-r}_{n-m}}{C^k_n}

Теперь подставим численные значения и вычислим, наконец, нашу вероятность.

P(A)=\dfrac{C^3_{20} \cdot C^{2}_{10}}{C^5_{30}}=0,36

Ответ: вероятность наступления данного события примерно 0,36 или 36%

Еще, одна небольшая хитрость в решении задач по классическому подходу — это схема, которую лучше сделать перед решением задачи.

классическая схема

И если внимательно теперь посмотрите на схему и на формулу, то вы поймете, что правая и левая сторона идут в числитель, а середина идет в знаменатель. Если вы научитесь пользоваться данной схемой, то вы без труда будете решать все задачи по классическому подходу к определению вероятности.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Updated: 29.06.2018 — 07:44

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme