Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Интегральная функция распределения

Для количественного описания распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x , а вероятностью события X < x , где x — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от x, и является некоторой функцией от x. Эта функция называется функция распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x)=P(X<x)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайных величин. Она существует как для дискретных, так и непрерывных СВ. Функция распределения полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одной из форм закона распределения.

Общие свойства интегральной функции распределения:

  1. Функция распределения F(x) неубывающая функция своего аргумента, то есть при x_2 > x_1 \qquad F(x_2) \ge F(x_1)
  2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F(-\infty)=0
  3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F(\infty)=0
  4. P(x_1 \le x < x_2) = F(x_2)-F(x_1)

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.

Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно:

\boxed{\bf{F(x)=P(X<x) = \sum_{x_i<x}P(X=x_i)}}

Решение задач

Задача №1

Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие A. Вероятность события A равна р = 0,3. Случайная величина Х — число появлений события A в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.

Решение:

Ряд распределения случайной величины будет состоять из двух возможных исходов — событие произошло (1) или событие не произошло (0):

Вероятность того, что событие произойдет имеется в условии, а вероятность того, что оно не произойдет можно найти, как обратное:

x_i 0 1
p_i 0,7 0,3

Теперь построим функцию распределения СВ Х:

  1. при x \le 0 \qquad F(x)=P(X<x)=0;
  2. при 0 < x \le 1 \qquad F(x) = P(X<x) = P(X=0)=0,7;
  3. при x > 1 \qquad F(x) = P(X<x) = P(X=0) + P(X=1) = 1

Как видите величины х в ряде распределения являются своего рода интервалами, при помощи которых можно строить функцию распределения.

Чтобы вам стало понятнее, как все устроено рассмотрим еще один пример, но с большим количеством опытов.

Задача №2

Условия будут те же самые, что и в предыдущей задаче, но проведено было не 2, а 4 опыта.

Решение:

Также построим ряд распределения, используем для этого формулу Бернулли (так как у нас всего два исхода: успех и неуспех):

x_0=C^0_4 \cdot p^0 \cdot q^4=0,7^4=0,2401;

x_1= C^1_4 \cdot p \cdot q^3 = 0,3 \cdot 0,7^3 = 4 \cdot 0,3 \cdot 0,7^3=0,4116

ну и так далее, я просто не буду расписывать, но смысл я надеюсь вам понятен, если нет, то повторите тему «Биноминальное распределение Бернулли»

x_i 0 1 2 3 4
p_i 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081

Теперь по промежуткам строим функцию распределения случайной величины:

x \le 0 \qquad F(x)=0;

0 < x \le 1 \qquad F(x) = 0,2401;

1 < x \le 2 \qquad F(x) = 0,2401+0,4116=0,6517;

2 < x \le 3 \qquad F(x) = 0,2401+0,4116+0,2646=0,9163;

3 < x \le 4 \qquad F(x) = 0,2401+0,4116+0,2646+0,0756=0,9919;

x > 1 \qquad F(x) = 0,2401+0,4116+0,2646+0,0756 + 0,0081=1.

Ну а теперь, сделаем запись, как положено для любой из функций:

F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0; \\ 0,2401, & 0 < x \le 1; \\ 0,6517, & 1 < x \le 2; \\ 0,9163 & 2 < x \le 3; \\ 0,9919, & 3 < x \le 4; \\ 1, &  x > 4. \end{cases}

Вот и все решение — это и есть функция распределения случайной величины Х.

 

Updated: 19.07.2018 — 05:14

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme