Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Характеристики положения случайной величины

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Мода

Модой случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность p_i или плотность вероятности \rho(x) достигает максимума).

Мода обозначается: Mo(X)

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Мода распределения

Медиана

Медианой (Ме) случайной величины X называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ X < Me одинаково вероятна тому, что СВ X > Me, и будет равна 0,5.

P(-\infty \le x \le Me) = P(Me \le x \le \infty) = 0,5

\boxed{\bf{\int\limits_{-\infty}^{Me} \rho(x) \,dx = \int\limits_{Me}^{\infty} \rho(x) \,dx = 0,5}}

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (функция распределения равна 0,5).Медиана распределения

Квантиль уровня q

Квантилью уровня q (или q-квантилью) называется такое значение x_q случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, то есть

F(x_q)=P(X < x_q)=q

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, то есть Me(X)=x_{0,5}. Квантили x_{0,25} и x_{0,75} получили название нижней и верхней квартилей соответственно.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под 100%q-ной точкой подразумевается квантиль x_{1-q} , то есть такое значение случайной величины X , при котором P(X \ge x_{1-q})=q.

Решение задач

Задача №1

Найти моду, медиану, квантиль x_{0,3} и 30%-ную точку СВ X с плотностью вероятности \varphi(x)=3x^2 при x \in [0;1]

Решение:

а) Чтобы найти моду распределения нужно найти максимум плотности вероятности, т.е. экстремум функции. Но т.к. эта функция возрастает, то на заданном в условии интервале, максимум достигается при x=Mo(X)=1.

б) Медиану найдем при помощи основной формулы (она выделена в прямоугольник в теории):

\left.  \int\limits_{-\infty}^{Me} \varphi(x) \,dx = \dfrac{1}{2}; \Rightarrow

\Rightarrow \int\limits_{-\infty}^{Me} \varphi(x) \,dx = \int\limits_{-\infty}^{0} 0 \cdot dx + \int\limits_{0}^{Me} 3x^2 \,dx = x^3 \right|_0^{Me} = (Me)^3=\dfrac{1}{2}

Из получившегося уравнения выразим медиану:

Me=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}} \approx 0,79

в) Для дальнейшего решения нам потребуется функция распределения, поэтому используя формулу прошлой темы найдем ее через плотность:

F(x)= \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi(x) \,dx =  \int\limits_{-\infty}^{0} 0 \cdot dx + \int\limits_{0}^{x} 3x^2 \,dx = x^3

Учитывая условие из теории найдем квантиль x_{0,3} \Rightarrow x^3_{0,3} = 0,3, откуда x_{0,3} \approx 0,67.

г) 30%-ную точку случайной величины Х или квантиль x_{0,7} найдем из уравнения x^3_{0,7}=0,7, откуда получаем x_{0,7} \approx 0,89.

Ответ: Мо = 1; Ме = 0,79;

Updated: 30.07.2018 — 09:57

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme