Формулы приведения

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение \frac{\pi}{2}+t, \frac{\pi}{2}-t, \pi+t, \pi-t, \frac{3\pi}{2}+t, \frac{3\pi}{2}-t и вообще любое выражение вида \frac{\pi n}{2} \pm t, где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения.

Формулы приведения

Некоторые формулы вы уже видели в моих предыдущих лекция по тригонометрии, а темах про синус, косинус, тангенс и котангенс.

Приведу еще раз эти формулы:

  1. \sin (\pi + t) = - \sin t
  2. \cos (\pi + t) = - \cos t
  3. \sin (\frac{\pi}{2} + t) = \cos t
  4. \cos (\frac{\pi}{2} + t) = - \sin t
  5. \sin (\pi - t) = \sin t
  6. \cos (\pi - t) = - \cos t
  7. \sin (2 \pi - t) = - \sin t
  8. \sin (2 \pi - t) = \cos t
  9. \tan (\pi + t) = \tan t
  10. \cot (\pi + t) = \cot t

Итак, получилось 10 формул приведения, но это только те случаи, которые встречаются чаще всего, но имеются и другие формулы, о которых поговорим дальше.

Составление формулы приведения

Как я и сказал, формул приведения очень много и если по многим другим формулам в тригонометрии можно составить какую-нибудь таблицу и пользоваться ей, то по формулам приведения ничего не выйдет, а если и выйдет, то вам придется потратить очень много времени. Поэтому существует способ, благодаря которому вы сможете легко запомнить их все, запомнив три правила:

  1. Если под знаком образующей тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида: \pi + t, \pi + t,  2 \pi + t, 2 \pi - t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить, иначе говоря функция остается прежней.
  2. Если под знаком образующей тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида \frac{\pi}{2} + t, \frac{\pi}{2} - t, \frac{3 \pi}{2} + t, \frac{3 \pi}{2} - t, то функцию следует заменить на противоположную, т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот.
  3. Перед полученной функцией от аргумента t следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция, но при условии: 0 < t < \frac{\pi}{2}.

Эти правила используются также и в тех случаях, когда аргумент задан в градусах, главное не забывать, какое значение градуса соответствует значению \pi, т.е. 180^o = \pi, 270^o = \frac{3 \pi}{2} и так далее.

 

ПРИМЕР 1. Преобразуем функцию.

Допустим дана следующая функция: \cot (\frac{3 \pi}{2} - t).

Первое, что мы делаем это смотрим, нужно ли менять функцию на противоположную. В нашем случае, согласно правилу №2 функция требует замены, в итоге получится tg.

Далее смотрим, какой будет знак. Как мы видим, что 0 < t < \frac{\pi}{2}, получим, что, \frac{3 \pi}{2} - t — аргумент из третьей четверти, а в данной четверти, функция имеет знак «+».

Таким образом, получается следующий ответ:

\cot (\frac{3 \pi}{2} - t) = \tan t

 

ПРИМЕР 2. Преобразуем функцию

Ну а теперь давайте попробуем функцию с градусами. Допустим, \sin (360^o - \alpha).

Так как 360^o = 2 \pi, то наименование функции следует сохранить, следовательно, останется синус.

Далее, 360^o - \alpha — аргумент из четвертой четверти, а в ней синус имеет знак «минус».

Таким образом, \sin (360^o - \alpha) = -\sin \alpha

 

Разумеется, формулы приведения можно применять и в более сложных выражениях.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *