Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем —  теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события A, которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: H_1, H_2,...,H_n, образующих полную группу несовместных событий, то есть

H_i \bigcap H_j = \O,  i,j = 1, ... , n;   i \neq j;  \sum_{i=1}^{n}H_i = \Omega.

Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема

Вероятность события A равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события:

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)

Не буду представлять доказательство, думаю тут и так все ясно. Давайте лучше сразу перейдем к примерам.

ПРИМЕР 1 Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся два белых и один черный шар. Во второй урне – три белых и один черный, а в третьей урне – два белых и два черных. Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны извлечет белый шар? 

Решение.

Рассмотрим 3 гипотезы:

H_1 — выбор первой урны;

H_2 — выбор второй урны;

H_3 — выбор третей урны.

Событие A вынут белый шар. Из условия задачи следует, что гипотезы равновозможны: P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}. Если случайно подойти к первой урне, то вероятность извлечь из нее белый шар равна \frac{2}{3}. Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно: P(A/H_1) = \frac{2}{3}, P(A/H_2)=\frac{3}{4}, P(A/H_3)=\frac{1}{2}. Теперь используем формулу полной вероятности, из теоремы и окончательно получим:

P(A)=\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{36}

Ответ: вероятность данного события равна 23/36 или 63,89%

ПРИМЕР 9. Представим себе странника, идущего из некоторого пункта O и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта O попадет в пункт A?

Давайте начертим произвольный рисунок, ну к примеру, вот такой:

траектория

Решение

Как видно из нашего рисунка, странник обязательно должен пройти через один из пунктов B_1, B_2, B_3 и B_4. Обозначим H_k — гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта O в пункт B_k. Очевидно, что события H_1, H_2, H_3 и H_4 образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, так как по условию задачи, странник наугад выбирает один из путей OB_1, OB_2, OB_3 или OB_4. Тогда P(H_k)=\frac{1}{4}. Из пункта B_1 в A можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь A при условии H_1 равна 1/3. Рассуждая аналогично мы получаем следующее:

P(A/H_1) = \frac{1}{3}

P(A/H_2) = \frac{1}{2}

P(A/H_3) = 1

P(A/H_4) = \frac{2}{5}

А теперь применим формулу полной вероятности и получаем:

P(A)=\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 + \frac{2}{5}) = \frac{67}{120}

Ответ: вероятность того, что странник попадет из пункта О в пункт А равна 67/120 или 55,83%.

На следующих уроках мы с вами перейдем уже к более сложным темам, а именно к формулам и теоремам Байеса, Бернулли, Пуассона и т.д.

А пока на этом все! Всем спасибо!

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *