Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Элементы кобинаторики

Чтобы приступить к полноценному изучению теории вероятностей сперва нужно вспомнить материал, который изучается в школе, честно говоря не помню в каком классе. Речь идет о комбинаторике.  

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных соединений (комбинаций) подчиненных тем или иным условиям можно составить из заданного множества объектов.

Различают три вида соединения: размещения, перестановки и сочетания.

Основные правила комбинаторики

Множество состоит из n-элементов, а подмножество из m-элементов.

Очень важно уметь отличать типы соединения друг от друга, иначе решение задачи может зайти в тупик, я попробую объяснить все просто.

Правило перестановки

Перестановками из n-элементов называются такие n-соединения, которые отличаются друг от друга только ПОРЯДКОМ!!!

Число перестановок обозначается символом \bf {P_n} и находится по формуле:

\boxed {\bf {P_n=n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n}}

Правило размещения

Размещениями из n-элементов по m называются такие m-соединения, которые отличаются друг от друга ПОРЯДКОМ ИЛИ СОСТАВОМ или и тем и другим одновременно.

Число таких размещений обозначается \bf {A_n^m} и вычисляется по формуле:

\boxed {\bf {A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n(n-1).....(n-m+1)}}

Размещения с повторениями

Если размещения могут повторяться, то используется следующая формула:

\boxed {\bf {\tilde {A}_n^m=n^m}}

Правило сочетания

Сочетанием из n-элементов по m называются такие m-соединения, которые отличаются друг от друга только СОСТАВОМ!!!

Число всех таких сочетаний обозначается символом \bf {C_n^m} и определяется по формуле:

\boxed {\bf {C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}}}

Сочетания с повторениями

Если сочетания могут повторяться, то формула принимает следующий вид:

\boxed {\bf  {\tilde {C}_n^m=C_{n+m-1}^m}}

Также существует правило перестановки с повторениями, но оно используется очень редко и поэтому забивать им голову мы не будем, а перейдем к стандартному алгоритму решения задач по комбинаторике.

Чтобы решить любую задачу по комбинаторике, то лучше всего пользоваться вот таким несложным алгоритмом:

  1. Прочитать внимательно условие задачи (это очень важно, какая то малейшая деталь может вам намекнуть на правило соединения).
  2. Определите, в первую очередь важен ли порядок соединения. (если важен то можно сразу вычеркнуть для себя сочетания (если нет, то вычеркиваем перестановки), дальше подумайте важен ли состав соединений, если важен, то используем формулы размещения, если нет, то формулы перестановки (формулы сочетания)).
  3. Далее нужно определить могут ли соединения повторяться (если да, то используем формулы с повторениями).

Вот и все запомнив этот небольшой алгоритм, вы с легкостью будете решать задачи по комбинаторике. Но для решения задач, знания соединений мало, нужно знать еще парочку правил.

Правило произведения и суммы

Правило суммы

Не буду забивать вам голову всякими ненужными определениями. Скажу вот, что правило суммы будет использоваться в том случае, если в условии задачи используются такие слова, как «или» и «либо …, либо…».

\boxed {\bf {N=n_1+n_2+n_3+...+n_k}}

Правило произведения

Чтобы пользоваться правилом произведения в задаче, где дано несколько событий нужно посмотреть, каким способом они связаны и если между ними союз «и», то перемножаем, а если «или», то как я уже говорил выше складываем.

\boxed {\bf {N=n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot ... \cdot n_k}}

Решение задач

Задача №1

Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за столом. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами (изменился порядок)?

Решение:

Итак, применим мой алгоритм:

Важен ли порядок? Да, важен (сочетания не подходят)

Важен ли состав? Нет, не важен (размещения не подходят)

Следовательно, используем правило перестановки:

N=P_5=5!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120

Ответ: 120 способов

Задача №2

Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение:

Согласно условию данной задачи,  награды получат только три финалиста из десяти, а ценность медалей различна, т.е. порядок призеров имеет значение.

Повторений быть не может, потому что один и тот же спортсмен не может занять и первое и второе место. Следовательно, применяем правило размещения:

A_{10}^3=\dfrac{10!}{7!}=8 \cdot 9 \cdot 10=720

Ответ: 720 способов

Задача №3

В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов. Три спортсмена, показавшие лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

Решение:

По условию задачи в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значение (порядок не имеет значение, а важен только состав). Повторений быть не может, по той же причине, что и во второй задаче. Следовательно, применяем правило сочетаний:

C_{10}^3=\dfrac{10!}{7! \cdot 3!}=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3}=120

Ответ: 120 троек

Задача №4

В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?

Решение:

Цветы одного наименования могут повторяться в букете, и так как порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:

\tilde {C}_{10}^5=C_{10+5-1}^5=C_{14}^5=\frac{14!}{5! \cdot 9!}=2002

Ответ: 2002 комбинации.

Задача №5

Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

Решение:

В данной задаче используются два вида соединений (цифры и буквы). Причем, используется союз «и», следовательно, задача решается при помощи правила произведения. Давайте, цифры, обозначим буквой А, а буквы — В.

Начнем с цифр. Всего имеется 10 цифр (от 0 до 9). Порядок цифр в номере важен и состав также, потому что всего их 10, а для номера нужно только 4. Все цифры могут повторяться, а значит используется правило размещения с повторениями:

\tilde {A}_{10}^4=10^4=10000

Упростим себе задачу и допустим, что можно использовать все номера (т.е. 00-00 также оставим, хотя его не бывает, как вы знаете, и по идее его нужно вычесть из выборки, но для простоты счета оставим его).

Буквы вычисляются аналогично цифрам, используя правило размещения с повторениями:

\tilde {B}_{28}^3=28^3=21952

Ну и наконец, как мы в начале выяснили, для решения используется правило произведения:

N=\tilde {A}_{10}^4 \cdot \tilde {B}_{28}^3 = 10 000 \cdot 21 952 = 219 520 000

Ответ: 219 520 000 машин

На этом примеров, думаю хватит. Хотя мы не рассмотрели примеры на правило суммы, но думаю с суммой ни у кого не возникнет проблем.

Напоследок…

Как вы поняли, надеюсь, все задачки пр комбинаторике очень простые, самое главное это внимательно вчитаться в условие задачи, потому что оно может быть очень запутанным, но разобрав все на мелкие детали поймете, что решение в одну строчку и одну формулу. Прошу запомните алгоритм решения задач, практикуйтесь побольше, чтобы научиться быстро и правильно определять тип соединения, потому что потом на это времени уже не будет, дальше все сложнее, но в то же время интереснее.

Скачивайте задачники по теории вероятностей и решайте задачи, если возникают сложности с какой то из них, то пишите в комментарии и я помогу вам разобраться. Вот хороший задачник: Практикум Теория вероятностей

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme