Высшая математика - проще не бывает!

На сайте представлены уроки по различным областям , от элементарной алгебры до дифференциальной топологии. С нами высшая математика изучается легко и просто

Дисперсия и ее свойства

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Дисперсия обозначается DX или D[X].

\boxed{\bf{D[X] = M[(X-m_x)^2]= \begin{cases} \sum \limits_{-\infty}^{\infty} (x_i-m_x)^2 \cdot p_i \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} (x-m_x)^2 \cdot \rho(x)\,dx \end{cases}}}}}

Причем верхняя строка (с суммой) относится для дискретной случайной величины, а нижняя строка (с интегралом) относится для непрерывной СВ.

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия D[X] имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину равную \sqrt{D[X}].

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) \sigma_x случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

\boxed{\bf{\sigma_x = \sqrt{D[X]}}}

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия константы равна нулю: D[C]=M[C^2]=M[(C-M[C])^2]=M[(C-C)^2]=0
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: \boxed{D[CX]=C^2D[X]}
  3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых СВ равна сумме их дисперсий: \boxed{D[X+Y]=D[X]+D[Y]}
  4. Дисперсия разности независимых СВ равна также сумме дисперсий: \boxed{D[X-Y]=D[X]+D[Y]}
  5. Дисперсия произведения независимых СВ X и Y равна произведению дисперсии X на дисперсию Y плюс произведение квадрата математического ожидания СВ X на дисперсию Y плюс произведение квадрата математического ожидания СВ Y на дисперсию X: \boxed{D[XY]=D[X] \cdot D[Y] + M[X]^2 \cdot D[Y] + M[Y]^2 \cdot D[X]}

Решение задач

Задача №1

Из партии, содержащей 8 изделий, среди которых имеется три дефектных, выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Построить ряд, многоугольник и функцию распределения случайной величины X – числа дефектных изделий, содержащихся в выборке. Найти MX, DX, \sigma , x_{mod}.

Решение:

Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 3 включительно, то возможные значения ix_i случайной величины Х равны: x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2, x_4 = 3. Вероятность P(X = i) того, что в выборке окажется ровно i (i = 0,1,2,3) дефектных изделий, равна

P(X=i)=\dfrac{C^i_3C^{4-i}_5}{C_8^4}

В результате расчетов по данной формуле получим

p_1=P(X=0)=\dfrac{1}{14}      p_2=P(X=1)=\dfrac{3}{7}

p_3=P(X=2)=\dfrac{3}{7}        p_4=P(X=3)=\dfrac{1}{14}

Заполним ряд распределения величины Х:

x_i 0 1 2 3
p_i \frac{1}{14} \frac{3}{7} \frac{3}{7} \frac{1}{14}

Сделаем проверку, сумма вероятностей ряда распределения должна всегда быть равна единице: \dfrac{1}{14}+\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{14}=1. Все верно, можем продолжать.

В соответствие с этой таблицей многоугольник распределения изображается ломаной линией:

Многоугольник распределения

Теперь перейдем к нахождению функции распределения F(x), пользуясь рядом распределения:

F(x)=\begin{cases} 0, & x \le 0; \\ \frac{1}{14}, & 0 < x \le 1; \\ \frac{1}{2}, & 1 < x \le 2; \\ \frac{13}{14}, & 2 < x \le 3; \\ 1, & x > 3. \end{cases}

Теперь построим график функции, он будет иметь следующий вид:

график функции распределения

Далее найдем числовые характеристики. Пользуясь формулами, получим

MX=0 \cdot \dfrac{1}{14} + 1 \cdot \dfrac{3}{7} + 2 \cdot \dfrac{3}{7} + 3 \cdot \dfrac{1}{14} = \dfrac{3}{2}

DX= 1^2 \cdot \dfrac{3}{7} + 2^2 \cdot \dfrac{3}{7} + 3^2 \cdot \dfrac{1}{14} - \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 = \dfrac{5}{28}

\sigma = \sqrt{\dfrac{5}{28}} \approx 0,422

Из ряда распределения видно, что имеется два значения моды

x'_{mod} = 1, x''_{mod} = 2

Таким образом, среднее число дефектных изделий, содержащихся в выборке, равно 1,5, а наиболее вероятными, т.е. модальными значениями будут 1 и 2.

Updated: 09.08.2018 — 13:06

Добавить комментарий

© 2017 Frontier Theme