Тригонометрия

Несмотря на то, что обычно данную область математики не выделяют в отдельную дисциплину, мы это сделаем, потому что именно данная тема дается старшеклассникам особенно трудно, а без нее вы не сможете нормально работать с производными, интегралами, пределами и т.д.

Формулы приведения

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение \frac{\pi}{2}+t, \frac{\pi}{2}-t, \pi+t, \pi-t, \frac{3\pi}{2}+t, \frac{3\pi}{2}-t и вообще любое выражение вида \frac{\pi n}{2} \pm t, где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения. Читать далее

Тригонометрические функции числового аргумента

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число \sin\; t. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение \sin\; t, нужно: Читать далее

Тангенс и котангенс

Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.

Определение

Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — это отношение косинуса к синусу.

Обозначают их:

tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x};   ctg\ x = \frac{cos\ x}{sin\ x}

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x}, где x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k

ctg\ x = \frac{cos\ x}{sin\ x}, где x \neq \pi k

Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):

  I II III IV
tg x + +
ctg x + +

ПРИМЕР 1 Вычислите а) tg \ \frac{\pi}{4};  б) ctg \ \frac{5\pi}{6}

а) Чтобы найти значение тангенса, нужно значение синуса разделить на значение косинуса:

tg\ \frac{\pi}{4} = \frac{sin\ \frac{\pi}{4}}{cos\ \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

б) Чтобы найти значение котангенса, нужно значение косинуса разделить на значение синуса (значения также возьмем в таблице):

ctg\ \frac{5\pi}{6} = \frac{cos\ \frac{5\pi}{6}}{sin\ \frac{5\pi}{6}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}

 

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса, скачать их можно по ссылке: tablica-bradisa-skachat

\frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} 0
tg x \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} 0
ctg x \sqrt{3} 1 \frac{\sqrt{3}}{3} 0

Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:

  1. Для любого допустимого значения х справедливы равенства:

    tg\ (-x) = -tg\ x

    ctg\ (-x) = -ctg\ x

  2. Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:

tg\ (x+\pi)= tg\ \pi

ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi

Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

Всем спасибо!

Синус и косинус

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому я решил опустить несколько скучных лекций и приступить сразу к главному.

Определение синуса и косинуса

Итак, в первую очередь, начнем с определения.

Во-первых построим числовую окружность и отметим на ней некоторые точки:

числовая окружность

Если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа и обозначают \cos \; t, а ординату точки М называют синусом числа и обозначают \sin \; t.

Итак, судя по нашему рисунку мы видим, что

если M(t) = M(x, y), то

x= \cos \; t

y=\sin \; t

Отсюда следует, что

-1 \le \sin t \le 1

-1 \le \cos t \le 1

Вспомним, что каждая точка числовой окружности имеет в системе x0y свои координаты, причем для точек:

  • первой четверти: x > 0; y > 0
  • второй четверти x < 0; y > 0
  • третьей четверти: x < 0; y < 0
  • четвертой четверти: x > 0; y < 0

Это нам с вами поможет составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности:

I II III IV
синус + +
косинус + +

В дальнейшем эту таблицу мы с вами продолжим, а также разберемся в каких случаях она применяется.

Основное тригонометрическое тождество

Надеюсь, все вы помните, что уравнение числовой окружности имеет вид:

x^2+y^2=1

Тем самым фактически мы можем получить важнейшее равенство, связывающее синус и косинус между собой, а именно:

\boxed {\sin^2x+\cos^2x=1}

В дальнейшем мы будем называть это равенство основным тригонометрическим тождеством. А если оно «основное», то знать его нужно всем обязательно, в отличие от большинства других формул тригонометрии.

Ну и последнее, что я хочу сказать по теории, это, конечно, таблицы значений синусов и косинусов, с которыми вы, наверное, уже сталкивались, если изучали курс геометрии.

Но для тех, у кого их нет, я выложу основные из значений:

1 часть таблицы (значения от 0 до 180º):

0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{5\pi}{6} \pi
30º 45º 60º 90º  120º 135º 150º 180º
sin t 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0
cos t 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0 -\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} –1

2 часть таблицы (значения до 360º):

\dfrac{7\pi}{6} \dfrac{5\pi}{4} \dfrac{4\pi}{3} \dfrac{3\pi}{2} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{7\pi}{4} \dfrac{11\pi}{6} 2\pi
210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
sin t -\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} –1 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{1}{2} 0
cos t -\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{1}{2} 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1

С теорией покончено, давайте решим несколько примеров:

Решение уравнений и неравенств

ПРИМЕР 1 Вычислить cos t и sin t, если

а) t=\frac{45\pi}{4}; б) t=-\frac{37\pi}{3}; в) t=-18\pi

Решение

а) В первую очередь смотрим в таблицу значений синуса и косинуса и видим сразу, что такого значения t там нет, но, как вы должны знать, данная таблица составлена по числовой окружности, поэтому 0º = 360º. Т.е. все значения после 2\pi будут повторяться. Остается лишь найти, в какой четверти находится \frac{45\pi}{4}.

Имеем,

\frac{45\pi}{4}=\frac{45}{4}\pi=(10+\frac{5}{4})\pi=10\pi+\frac{5\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi \cdot 5

Если, кому не понято, то вначале я неправильную дробь перевел в смешанное число, а дальше в принципе все понятно, если целая часть четная — то ее опускаем, т.к. будет (2\pi), а если нечетная — то в конце концов останется еще \pi и его будем прибавлять к нашей обыкновенной дроби.

Отсюда следует, что числу \frac{45\pi}{4} соответствует та же точка числовой окружности, что и \frac{5\pi}{4}.

Теперь заглянем в таблицу и видим, что

sin (\frac{45\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, а cos (\frac{45\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

 

б) Также переписываем неправильную дробь в виде смешанного числа:

-\frac{37\pi}{3}=-\frac{37}{3}\pi=-(12+\frac{1}{3})\pi=-12\pi - \frac{\pi}{3};

-12 — четное число, поэтому забываем про него и значения смотрим по второму слагаемому —\frac{\pi}{3}. В итоге у нас вышло отрицательное число, а значит, отсчитывать значения мы будет по часовой стрелке, т.е. начиная с четвертой четверти, а не с первой. Отсчитав, видим, что  -\frac{\pi}{3} соответствует \frac{5\pi}{3}, (чтобы было понятнее -\frac{\pi}{3} соответствует -60º,  а 360º — 60º = 300º, поэтому и смотрим ответ у \frac{5\pi}{3}, значит,

sin (-\frac{37\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2},  cos (-\frac{37\pi}{3}) = \frac{1}{2}

 

в) Здесь все вообще супер — просто. t=-18\pi. Как видите, в значении целая часть и причем она четная, а это значит, она будет соответствовать значению -2\pi. Как видим представленное значение t соответствует значению нуля, т.е.

sin (-18\pi)=0; cos (-18\pi)=1.

ПРИМЕР 2 Решить уравнение: sin t = \frac{1}{2}

Решение:

Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой \frac{1}{2} и записать, каким числам t они соответствуют.

В нашем случае, если посмотреть в таблицу мы видим, что данной ординате соответствуют точки \frac{\pi}{6} и \frac{5\pi}{6}

Следовательно,

Ответ: t=\frac{\pi}{6}+2\pik; t=\frac{5\pi}{6}+2\pik

Как вы, надеюсь, понимаете с косинусом все будет наоборот, вы будете искать значение абсциссы (т.е. в таблице смотреть значения косинуса).

С уравнениями, думаю, все понятно. Перейдем к неравенствам. С ними обстоят дела похоже, но кое-чем отличаются.

ПРИМЕР 3 Решить неравенство cos t > -\frac{\sqrt{2}}{2}

Решение:

Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точку с абсциссой t > -\frac{\sqrt{2}}{2} и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая t = -\frac{\sqrt{2}}{2} пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству же соответствуют все точки открытой дуги (т.е. все что находится между этими точками пересечения). Согласно таблице, это точки -\frac{3\pi}{4} и \frac{3\pi}{4}. Получается, решением неравенства будут все точки, входящие в данный интервал.

Ответ:  -\frac{3\pi}{4} + 2\pik < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pik.

Завершая в данном уроке разговор о синусе и косинусе хотел бы вам также представить еще несколько важных формул, которые справедливы для любого значения t.

1. sin (-t) = -sin t;  cos (-t) = cos t

К примеру, sin (-\frac{\pi}{6}) = -sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}

2. sin (t + 2πk) = sin t;  cos (t + 2πk) = cos t

Это очевидно, так как 2π — это период функции, равный одному кругу, а k  — это количество таких периодов. И вы, уже должны были понять, что, когда первый круг заканчивается 360º, то все начинается сначала, т.е. 390º будут соответствовать 30º

3. sin (t + π) = -sin t; cos (t + π) = -cos t

Это также очевидно, если вы внимательно изучали таблицу, то заметили, что значения после половины периода π соответствуют другому периоду, но с противоположным знаком.

4. sin (t + \frac{\pi}{2} = cos t; cos (t + \frac{\pi}{2} = -sin t

Также, если внимательно изучали таблицу, то и эту закономерность вы должны были заметить.

Ну вот с основными закономерностями таблицы синусов и косинусов мы ознакомились и на этом можно заканчивать.

 

Всем спасибо, если есть вопросы по теме пишите, обязательно отвечу!!!

 

Введение в тригонометрию

Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней. Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия.

Числовая окружность

Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях, которые заданы аналитическими выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменными, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т.д.  Так вот к чему я веду — математические модели зачастую не связаны с алгебраическими функциями. В школе мы изучаем тригонометрические, логарифмические и показательные функции, но уверяю вас их намного больше. Ну а сейчас мы начнем с изучения тригонометрических функций.

Для введения тригонометрических функция требуется несколько иная модель вместо той, которая используется для введения алгебраических функция, а именно числовая окружность. Более подробно о ней, я думаю, мы поговорим на следующем уроке, потому что именно овладение этим, с первого взгляда ненужным материалом и поможет вам при изучении тригонометрии.

А пока, чтобы хоть как-то упростить материал давайте поработаем с несколькими геометрическими задачками.

Пример №1 Дана окружность радиусом 1 см. Чему равна длина окружности, ее половина и четверть?

Практически любая задачка по геометрии сперва требует построения рисунка, а уже потом решения. Так давайте построим:

числовая окружность

Значит строим окружность с радиусом 1 см.

Проведем два перпендикулярных диаметра АС и ВD

Мы получили четыре четверти, кстати, на своем рисунке я уже обозначил четверти, вы сделайте также, я пока не буду вдаваться в подробности, почему именно так, чуть позже вы обо всем узнаете сами.

 

Решение:

Из курса геометрии вы уже должны быть знакомы с формулой нахождения длины окружности, а если подзабыли, то я напомню:

L = 2πR

Чтож, все данные у нас есть давайте вычислим:

L = 2*3,14*1 = 6,28 см.

Ну, думаю о том, как найти половину и четверть, вы и сами уже догадались.

L (0,5) = 6,28/2 = 3,14 см.

L (0,25) = 6,28/4 = 1,57 см.

Ответ: 6,28; 3,14; 1,57

В дальнейшем данная окружность будет использоваться постоянно, но ее радиус будет равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения. Такая окружность называется единичной, а ее радиус равен — 1.

Думаю, по решению задачи вы уже поняли, что длина единичной окружности всегда равна — 2π.

На этом, на сегодня, думаю, можно и остановиться. Конечно, ничего сложного и ничего интересного особенно не было, но ведь это было только лишь небольшое введение. Дальше больше, сложнее и интереснее.

На следующих уроках мы будем с вами подробно изучать числовую окружность, и только потом мы перейдем к самим синусам и косинусам.

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.