Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения — это особый раздел математики, который изучается, как отдельная дисциплина. А дело все в том, что существует огромное количество видов дифференциальных уравнений и изучать их все в матанализе было бы просто невозможно!

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0         (1)

есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию F(x, y), от которой полный дифференциал dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) можно записать в виде F(x, y) = C, где С — произвольная постоянная.

ПРИМЕР 1 Решить уравнение:

(2x+3x^2y)dx + (x^3-3y^2)dy = 0

Решение:

В первую очередь докажем, что данное тождество является уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем производные обоих слагаемых:

(2x+3x^2y)' = 3x^2

(x^3-3y^2)' = 3x^2

Так как производные равны, то данное уравнение является тем, что нам нужно. Поэтому переходим к решению.

Для начала найдем функцию F(x, y), полный дифференциал которой dF(x, y) = F'_xdx + F'_ydy был бы равен левой части исходного уравнения, т.е. такую функцию F, что

F'_x = 2x+3x^2y,\      F'_y = x^3-3y^2    (2)

Для этого интегрируем по x первое из уравнений (2), считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить \phi(y) — неизвестную функцию от y:

F=\int (2x+3x^2y)dx = x^3 + x^3y + \phi (y)

Подставляя это выражение для F во второй из уравнений (2) найдем \phi(y)

(x^3 + x^3y + \phi (y))'_y = x^3-3y^2;

\phi'(y)=-3y^2;

\phi(y)=-y^3 + const.

Следовательно, можно взять F(x, y) = x^2 + x^3y - y^3, и общее решение исходного уравнения будет иметь вид

x^2 + x^3y - y^3=C

Ответ: x^2 + x^3y - y^3=C

Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения

M(x, y)dx + N(x, y)dy 0           (3)

называется такая функция m(x, y) \neq  0, после умножения на которую уравнение (3) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и N в уравнении (3) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (3) неизвестно).

Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:

d(x, y) = ydx + xdy,        d(y^2)=2ydy,

d(\frac{x}{y})=\frac{ydx-xdy}{y^2},        d(ln y)=\frac{dy}{y}   и т. д.

 ПРИМЕР 2. Решить уравнение

ydx - (4x^2y+x)dy=0

Решение:

В первую очередь, выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как ydx - xdy = -x^2d(\frac{x}{y}), то деля исходное уравнение на -x^2, имеем

d(\frac{y}{x}) + 4ydy=0,          d(\frac{y}{x})+d(2y^2)=0

Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосредственно, получаем решение:

\frac{y}{x}+2y^2=C

Кроме того, при делении на  -x^2 было потеряно решение x = 0

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

ydx-(x^3y+x)dy=0

Выделив полный дифференциал, как в предыдущем примере, получаем:

d(\frac{y}{x})+xydy = 0

Перейдя к переменным z=y/x и y, получим уравнение

dz+\frac{y^2}{z}dy=0,

которое очень просто решается.

Как вы видите в решении подобных уравнений никаких сложностей нет, достаточно просто вникнуть в тему и решить парочку примеров.

На этом все. Всем спасибо за внимание!

Урок №4 Линейные уравнения первого порядка

Теоретическая часть

Уравнение

y'+a(x)y=b(x)           (1)

называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение

y'+a(x)y=0               (2)

(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для y, подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х).

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.

Пример №1 Привести уравнение y=(2x+y^3)y' к линейному виду.

Данное уравнение, в котором y является функцией от xнелинейное.

Запишем его в дифференциалах:

ydx-(2x+y^3)dy=0

Так как в это уравнение x и dx входят линейно, то уравнение будет линейным, если x считать искомой функцией, а y — независимым переменным.

Тогда уравнение можно представить в виде:

\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=y^2

И решается данное уравнение аналогично (1).

Пример №2 Решить уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли: y'+a(x)y = b(x)y^n, где n≠1.

Чтобы решить данное уравнение нужно обе части разделить на y^n, получаем:

\frac{y'}{y^n}+\frac{a(x)}{y^{n-1}}=b(x).

Далее делаем замену: \frac{1}{y^{n-1}}=z, получаем:

\frac{y'}{y^n}=\frac{z'}{1-n}

Теперь подставим это в выражение и получим:

\frac{z'}{1-n}+a(x)z=b(x).

Избавившись от знаменателя мы получаем линейное уравнение, которое решается аналогично (1).

Пример №3 Решить уравнение Риккати.

Уравнение Риккати имеет вид: y'+a(x)y+b(x)y^2=c(x)

Данное уравнение не решается в квадратурах.

Если же известно, одно частное решение y_1(x), то делается замена y=y_1(x)+z.

Выполнив замену, мы получаем уравнение Бернулли, о котором мы говорили в предыдущем примере.


Кстати, иногда частное решение можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего y).

Существуют и другие способы решения линейных уравнений первого порядка, но мы рассмотрели самые удобные и простые в расчетах.

Пример №4 Решить уравнение (2x+1)y'=4x+2y

В первую очередь решим соответствующее однородное уравнение (о том как они решаются можно посмотреть в предыдущем уроке):

(2x+1)y'=2y.

Общее решение нашего однородного уравнения имеет вид:

y=C(2x+1).

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной (то, о чем мы говорили в самом начале урока) и получаем:

(C'(2x+1)+2C)(2x+1)=4x+2C(2x+1)

или сделав преобразование получим:

(2x+1)^2C'=4x.

И отсюда находим С(х):

C(x) = 4∫\frac{xdx}{(2x+1)^2}+C_0 = ln|2x+1|+\frac{1}{2x+1}+C_0

И окончательный ответ:

y=(2x+1)(ln|2x+1|+C)+1

Пример №5 Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x2y’ + xy + x2y2 = 4.

Ищем частное решение в виде

y_1(x)=\frac{a}{x}, где a — постоянная.

Подставив частное решение в уравнение получаем:

-a+a+a^2=4.

Решив неполное квадратное уравнение, получаем

a_1=2 и a_2=-2

Пускай a = 2, тогда, произведя замену: \y=frac{2}{x}+{1}{z} получаем линейное уравнение:

x^2z'-5xz-x^2=0.

Проинтегрировав полученное уравнение, находим:

z=Cx^5-frac{x}{4}.

Следовательно общее решение уравнения принимает вид:

y=\frac{2}{x}+\frac{4}{Cx^5-x}

Частное решение y_1=\frac{2}{x} получается из общего при С = ∞.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Однородные уравнения

Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения.

Теоретическая часть

Однородные уравнения могут быть записаны в виде y'=f\frac{y}{x}, а также в виде M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену y=tx, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными, которые мы с вами научились вычислять на прошлом уроке.

Пример №1 Решить уравнение: xdy = (x+y)dx

Так как это однородное уравнение, то сделаем замену y=tx, тогда dy=xdt+tdx. Подставив это в наше уравнение, получим:

x(xdt+tdx) = (x+tx)dx;    xdt=dx

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, так давайте решим его теперь:

dt=\frac{dx}{x};   t = ln |x| + C

Делаем обратную замену:

y=x(ln|x|+C)

Кроме того, имеется решение x=0, которое было потеряно при делении на x.


 

Уравнение вида y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}) приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых ax+by+c=0 и a_1x+b_1y+c_1=0.

Если же эти прямые не пересекаются, то a_1x+b_1y=k(ax+by); следовательно. уравнение имеет вид y'=F(ax+by) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z=ax+by (или z=ax+by+c).

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой y=z^m. Число m обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену y=z^m . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число m если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному данным способом.

Пример №2 Определить можно ли привести уравнение к однородному виду.

Дано уравнение 2x^4yy'+y^4=4x^6 и нам нужно определить можно ли его привести к однородному виду и какую замену для этого нужно сделать.

После замены y=z^m уравнение принимает вид:

2mx^4z^{2m-1}z'+z^{4m} = 4x^6

Это уравнение будет однородным если его степени всех его членов равны между собой, т.е. 4+(2m-1)=4m=6.

Найдем при каком значении все три равенства удовлетворяются.

Во, первых проще всего найти m из двух последних значений:

4m=6, отсюда m=\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Значение m мы нашли, но будет ли оно удовлетворять первому значению, проверим, подставив значение:

4+(2m-1) = 4+(2*\frac{3}{2}-1) = 4+3-1 = 6

Все три равенства удовлетворяются, а значит, наше уравнение можно привести к однородному виду заменой y=z^{\frac{3}{2}}


 

C теорией на сегодня все, тема легкая и, думаю, что понятная, но на всякий случай решим еще один пример:

Пример №3 Решить уравнение: 2x^2y'=y^3+xy

Допустим x=z^m, тогда получим

2mx^2z^{m-1}z'=z^{3m}+xz^m, 2mx^2z^{m-1}dz-(z^{3m}+xz^m)dx=0

⇒ функции 2mx^2z^{m-1} и z^{3m}+xz^m однородны лишь при одном условии:

m+1=3m=m+1, т.е. при m=\frac{1}{2}

Таким образом, в случае y ≥ 0 делаем замену y=√z. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

x^2dz-(z+x)zdx=0

Делаем еще одну замену: z=xu(x) и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

xdu-u^2dx=0

Проинтегрировав его (не буду расписывать, надеюсь это вы умеете, если нет, то найдите урок про интегрирование функций) получаем:

\frac{1}{u}+ln|x| = C

Делаем обратную замену:

\frac{x}{y^2}+ln|x|=C

Решение уравнения y=0 входит в полученное семейство при C = ∞.

Пример №4 xy'=y-xe^{\frac{y}{x}}

Сделаем замену: y=tx, тогда y'=t+t'x, получаем:

x(t+t'x)=tx-xe^t

Раскроем скобки и упростим:

t'x^2=-xe^t

Запишем в дифференциалах:

\frac{xdt}{dx}=-e^t

e^{-t}dt=-\frac{dx}{x}

Продифференцировав, получаем:

-e^{-t}+ln|C|=-ln|x|

Упростим:

e^{-t}=lnCx

Найдем t:

t=-lnlnCx

Делаем обратную замену:

Ответ: y=tx=-xlnlnCx

Пример №5 (2x+y+1)dx-(4x+2y-3)dy=0

Найдем точки пересечения прямых, для этого решается система уравнений (надеюсь расписывать не нужно, если изучаете дифуры, то школьную базу вы и так должны знать).

Так вот решив систему уравнений, состоящую из двух уравнений 2x+y+1=0 и -(4x+2y-3) =0 мы выясняем, что точек пересечения нет, а если прямые не пересекаются, то вывод один — они параллельны и если построить график, то вы в этом убедитесь.

Так вот если прямые параллельны, то замену, которую мы проводили при решении примеров в параграфе мы не можем. Однако, в силу того, что коэффициенты y и x пропорциональны можем положить,что

z=2x+y

И тогда

dy=dz-2dx

и исходное уравнение принимает вид:

5(z-1)dx-(2x-3)dz=0

Интегрируя это уравнение получаем

Ответ:2x+y-1=Ce^{2y-x}

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно или не сходятся ответы, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

Уравнения с разделяющимися переменными

На прошлом занятии мы научились составлять дифференциальные уравнения кривых. О том, как вы усвоили данный материал мы узнаем в конце этого урока, когда проверим заданные вам задания, а сейчас новая тема.

Уравнения с разделяющимися переменными

На самом деле теории совсем чуть-чуть, по большей части мы все-таки займемся практической частью.

Итак, уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде:

y' = f(x)g(y)                (1)

или

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0       (2)

Чтобы решить подобные уравнения необходимо обе части разделить или умножить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только х, а в другую часть — только y. После производится интегрирование обоих частей.

При делении обоих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример №1 Решить уравнение: x^2y^2y'+1=y

В первую очередь приведем наше уравнение к виду (2), а для этого сперва распишем y’ по формуле \frac{dy}{dx}, а цифру 1 перенесем в правую часть:

x^2y^2\frac{dy}{dx} = y-1

А теперь уже приводим наше выражение к общему виду:

x^2y^2dy=(y-1)dx

А теперь нужно разделить обе части на такое выражение, чтобы слева остались значения только с y, а справа только с х.

Рассуждаем…

Чтобы избавиться в левой части от x^2, нужно эту часть и разделить на  x^2,

а чтобы избавиться от y-1 в правой части нужно его и разделить на y-1.

Получаем выражение: x^2(y-1) — делим на него обе части уравнения:

\frac{y^2}{y-1}dy=\frac{dx}{x^2}

Теперь мы получили идеальное уравнение для интегрирования:

\int{\frac{y^2}{y-1}dy}=\int{\frac{dx}{x^2}}

Получаем:

\frac{y^2}{2}+y+ln|y-1|=-\frac{1}{x}+C

При делении на  x^2(y-1) могли быть потеряны решения при x=0 и y-1=0, т.е. y=1. Сразу очевидно, что y=1 — решение уравнения, а x=0 — нет.

Если остались вопросы — завадайте их в комментариях.

Дополнительно

Уравнения вида

y'=f(ax+by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z=ax+by+c, где с — любое число.

На этом думаю можно и закончить, тема достаточно простая и будет понятна всем, кто знаком с интегрированием.

Пример №2 y'-xy^2=2xy

\frac{dy}{dx}-xy^2-2xy=0

dy-(xy^2+2xy)dx=0

dy-xy(y+2)dx=0

\frac{dy}{y(y+2)}-xdx=0

\frac{1}{2}(\frac{dy}{y}-\frac{dy}{y+2}-xdx=0

\frac{1}{2}ln|y|+\frac{1}{2}ln|y+2|-\frac{1}{2}x^2=0

x^2=ln|\frac{y+2}{y}|+C

В ответ можно не включать решение y = -2, потому что оно входит в серию решений y(Ce^{-x^2}-1)=2, при С=0

Ответ: y = 0, y = 2

Пример №3 y'=cos(y-x)

Получаем z=y-x, получим:

\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}-1

Исходное уравнение принимает вид:

\frac{dz}{cosz-1}=dx

Интегрируя получаем:

x-ctg\frac{z}{2}=C, или x-ctg\frac{y-x}{2}=C

К этим решения также следует прибавить потерянные решения z = 2kπ, k ∈ Z.

 

На этом все) Всем спасибо!

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

 

 

 

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ(x, y, C_1, ... , C_n)          (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C1 … Cn.

Изогональные траектории

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями. Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

Пусть

y' = f (x,y) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

y' = f_1 (x,y) — уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f1 (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

F (x,y,y') = 0,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых: C_1x+(y-C_2)^2 = 0

  • Так как уравнение содержит два параметра (С1 и С2), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная: C_1+ 2(y - C_2)y'

Вторая производная: 2y'^2+ 2(y - C_2)y'' = 0

  • Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С1 , а для этого выведем его из уравнения первой производной С1 = -2(y — С2)y’ и подставим в наше уравнение:

-2xy' (y - C_2 + (y - C_2)^2 = 0       (2)

  • Теперь также нужно избавиться от параметра C2, а для этого выведем ее из второй производной: y — C2 = -y’2 / y» и подставим это в (2):

-2xy' (\frac{-y'^2}{y''})+(\frac{-y'^2}{y''})^2 = 0

  • Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

y' + 2xy'' = 0

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение: y = ax^3 + bx^2 + cx

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С1 и С2 здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду,  думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная: y' = 3ax^2 + 2bx + c,   где c = y' - 3ax^2 - 2bx

Вторая производная: y'' = 6ax + 2b,     где b = \frac{y'' - 6ax}{2}

Третья производная: y''' = 6a,    где a = \frac{y'''}{6}

y = ax^3 + bx^2 + (y' - 3ax^2 - 2bx)x

y = ax^3 + bx^2 + xy' - 3ax^3 - 2bx^2

y = -2ax^3 - bx^2 + xy'

y = -2ax^3 - x^2(\frac{y'' - 6ax}{2}) + xy'

y = -2ax^3 - \frac{x^2y'' + 6ax^3}{2} + xy'

2y = 2ax^3 - x^2y'' + xy'

2y = 2x^3(\frac{y'''}{6} - x^2y'' + xy'

6y = x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy'

Ответ: x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy' - 6y = 0

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3 ln y = ax+by

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: \frac{y'}{y}=a+by', где a = \frac{y'-byy'}{y}

Вторая производная: \frac{y''y-y'^2}{y^2}=by'', где b=y''y-\frac{y'^2}{y''y^2}

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

a = \frac{y'-byy'}{y}=\frac{y'}{y}-\frac{yy'(y''y-y'^2)}{y''y^3}=\frac{y'^3}{y''y^2}

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

ln y = \frac{y'^3}{y''y^2}x+y''y-\frac{y'^2}{y''y^2}y

y''y^2ln y = xy'^3+y''y^2-y'^2y ⇒ y''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)

Ответy''y^2(ln (y)-1) = (y'^2)(y'x-y)

Пример №4 y = sin(x+C)

Ну а здесь все еще проще:

Найдем производную:

y'=cos(x+C)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

y'^2=cos^2(x+C)

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

1-y'^2=1-cos^2(x+C)=sin^2(x+C)

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

sin^2(x+C)=y^2

И, следовательно,

1-y'^2=y^2

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ: y'^2+y^2=1

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

 

 

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.