Без рубрики

Операции над матрицами

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/

Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и вычисляются немного по-другому. И именно сегодня мы этим и займемся.

Матрицей размера m x n или (m x n)-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел a_{i,j}, i=1,2,3,...,m, j=1,2,...,n

матрица m x n

 

 

 

, состоящая из m-строк и n-столбцов

 

Сумма матриц

Суммой A+B (m x n)-матриц A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) называется матрица C=(c_{ij}) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и В.

Ну с этим все очень просто, а рассмотрев пример, вообще поймете, что делать нечего.

Пример №1 Вычислить сумму матриц A и В

матрица 1матрица 2

Делаем согласно правилу: складываем элементы матрицы А и соответствующие элементы матрицы В:

матрица 1+2

Все! Сумма матриц А и В найдена! Проще простого.

Произведение матрицы на число

Произведением αA матрицы A=(a_{ij}) на действительное или комплексное число α называется матрица B, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число α.

Как вы видите из определения, здесь также нет ничего сложного.

Пример №2 Найти произведение матрицы A на число -2.

матрица 1

Просто перемножаем каждое число матрицы А на число -2:

матрица 1х-2

Произведение матриц

Произведением АВ (m x n)-матрицы A=(a_{ij}) на (n x k)-матрицу B=(b_{ij}), называется (m x k)-матрица C=(c_{ij}), элемент которой (c_{ij}), стоящий в i-строке и j-столбце равен сумме произведений соответствующих элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В.

Понимаю, что в этом огромном определении вам мало, что понятно, но все таки попробуем разобраться.

Во-первых знайте: умножать матрицы можно только в том случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы!

Во-вторых знайте: переместительный закон умножения здесь не действует! Т.е. если матрицы поменять местами, то и результат изменится.

Ну а теперь давайте решим пример.

Пример №3 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

матрица 3матрица 4

Чтобы вам было проще и, чтобы вы не наделали глупых ошибок в вычислениях, советую сперва расписывать каждый элемент матрицы:

c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}= 4*2+(-4)*(-16) = 8+64 = 72

c_{12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = 4*(-10)+(-4)*0 = -40+0 = -40

c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = 3*2+7*(-16) = 6-112 = -106

c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = 3*(-10)+7*0 = -30

А теперь полученные числа, вписываем в матрицу, согласно координатам (ij):

матрица 34

Произведение матрицы найдено! Посложнее, конечно, но ничего поймете методику и вникните быстро).

Рассмотрим, теперь пример посложнее…

Пример №4 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

612

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b{21} +a_{13}b_{31} =5*7+(-3)*8+4*(-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b{22} +a_{13}b_{32} =5*(-3)+(-3)*(-5)+4*0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b{23} +a_{13}b_{33} = 5*1+(-3)*4+4*2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b{21} +a_{23}b_{31} = 6*7+1*8+0*(-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b{22} +a_{23}b_{32} = 6*(-3)+1*(-5)+0*0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b{23} +a_{23}b_{33} = 6*1+1*4+0*2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b{21} +a_{33}b_{31} = (-5)*7+4*8+(-1)*(-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b{22} +a_{33}b_{32} = (-5)*(-3)+4*(-5)+(-1)*0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b{23} +a_{33}b_{33} = (-5)*1+4*4+(-1)*2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

АВ

Возьмем немного сложнее пример дальше.

Пример №5 Вычислить 3А + ВС

матрица А 25452 матрица В 14785 матрица С 98752

Решаем это, как обычный пример, правда вместо слагаемых будут выступать матрицы.

1 действие: 3*А:

матрица 9954

2 действие: BC:

bc_{11} =b_{11}c_{11} +b_{12}c{21} +b_{13}c_{31} =1*(-2)+8*8+(-7)*(-4) = 90

bc_{12} =b_{11}c_{12} +b_{12}c{22} +b_{13}c_{32} =1*4+8*(-7)+(-7)*8 = -108

bc_{13} =b_{11}c_{13} +b_{12}c{23} +b_{13}c_{33} = 1*5+8*4+(-7)*0 = 37

bc_{21} =b_{21}c_{11} +b_{22}c{21} +b_{23}c_{31} = 2*(-2)+0*8+5*(-4) = -24

bc_{22} =b_{21}c_{12} +b_{22}c{22} +b_{23}c_{32} = 2*4+0*(-7)+5*8 = 48

bc_{23} =b_{21}c_{13} +b_{22}c{23} +b_{23}c_{33} = 2*5+0*4+5*0 = 10

bc_{31} =b_{31}c_{11} +b_{32}c{21} +b_{33}c_{31} = 4*(-2)+(-1)*8+9*(-4)= -52

bc_{32} =b_{31}c_{12} +b_{32}c{22} +b_{33}c_{32} = 4*4+(-1)*(-7)+9*8 = 95

bc_{33} =b_{31}c_{13} +b_{32}c{23} +b_{33}c_{33} = 4*5+(-1)*4+9*0 = 16

Вставляем полученные результаты в матрицу и получаем:

матрица 87485

Ну а теперь, выполняем последнее действие, а именно складываем матрицы 3А и ВС:

матрицы сложение 848484

На этой хорошей ноте всем спасибо)

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в заданиях, задавайте вопросы в комментариях.

 

 

Урок №3 Арифметическая и геометрическая прогрессия

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно!

Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность):

x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n,...

Кратко последовательность обозначают символом {x_n} или (x_n), число x_n называют членом или элементом этой последовательности, а n — номером члена x_n.

Последовательности обычно задаются формулами, при помощи которых можно вычислить каждый ее член по соответствующему номеру. Также последовательности задаются рекуррентными формулами, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность {a_n}, которая определяется рекуррентной формулой:

a_{n+1}=a_n+d,

где a_1 и d — заданный числа; число dразность арифметической прогрессии.

Для того чтобы найти n-ый член арифметической прогрессии используют формулу:

a_n=a_1+d(n-1)

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при k\ge 2 справедливо следующее равенство:

a_k=frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}

Сумму первых n-членов арифметической прогрессии находят по формуле:

S_n=frac{a_1+a_n}{2}*n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n

Пример №1 Найти седьмой член арифметической прогрессии: 13,4; 14,7;…

Чтобы решить данное задание, в первую очередь, найдем шаг (разницу) прогрессии, т.е. вычислим d:

d = a_2-a_1 = 14,7-13,4 = 1,3

А теперь, когда все данные известны, согласно формуле найдем седьмой член прогрессии:

a_7=a_1+d(7-1)=13,4+1,3(7-1) = 13,4+7,8 = 21,2

Ответ: седьмой член заданной арифметической прогрессии равен — 21,2

Пример №2 Вычислим сумму первых десяти четных чисел.

Можно, конечно, посчитать сумму чисел привычным для нас образом: 2+4+6+8+ и т.д. Но ведь не всегда в задачах такие простые условия, поэтому мы воспользуемся формулой суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Чтобы воспользоваться формулой нам нужно знать шаг и последний член прогрессии, поэтому вычисляем их:

d=4-2 = 2

a_10 = 2+2(10-1) = 20

Подставляем полученные данные в формулу:

S_{10} =frac{2+20}{2}10 = 11*10= 110

Ответ: сумма первых десяти четных чисел равна 110.

Ну, думаю, здесь хватит…

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность b_n, которая определяется рекуррентной формулой:

b_{n+1}=b_nq,

где b_1 и q — заданные числа, не равные нулю; qзнаменатель геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-ый член геометрической прогрессии используют формулу:

b_n=b_1q^{n-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов, т.е. при k\ge 2 справедливо следующее равенство:

b_k^2=b_{k-1}b_{k+1},

и сразу очевидно, что, для того чтобы найти b_k^2 нужно вычислить квадратный корень из b_{k-1}b_{k+1}.

Сумму первых n-членов геометрической прогрессии находят по формуле:

S_n={b_1-b_nq}{1-q} = b_1frac{1-q^n}{1-q}, если q≠1

Пример №3 Вычислить пятый член прогрессии: 1,5; 1,8; 2,16;…

Здесь сразу видно, что прогрессия геометрическая, потому что числа в ряду увеличиваются неровно, как в арифметической прогрессии.

Поэтому для вычисления нужно найти знаменатель q:

q=frac{b_2}{b_1}=frac{1,8}{1,5} = 1,2

Ну а теперь, вычислим пятый член прогрессии:

b_5=b_1q^4 = 1,5*1,2^4 = 1,5*2,0736 = 3,1104

Ответ: пятый член геометрической прогрессии — 3,1104

Пример №4 В геометрической прогрессии b(1)=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых трех членов прогрессии.

Здесь вообще все просто, у нас есть все данные, просто подставим их в формулу:

S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q} = 1,5frac{1-1,2^3}{1-1,2} = 1,5frac{1-1,728}{-0,2} = 1,5frac{-0,728}{-0,2} = 1,5*3,64 = 5,46

Ответ: сумма первых трех членов прогрессии — 5,46

 

Как вы видите, в принципе, особо сложного тут ничего нет, но бывает, что попадаются задачки запутанные, но на это не нужно обращать внимания, а просто «разматывать ниточки» и искать решение.

 

Если у вас остаются вопросы по теории или по практической части смело задавайте их в комментариях.

Урок №2 Элементы логики. Метод математической индукции

Логика также является одним из разделов математики. Подробно во все тонкости данной дисциплины, мы, в мат. анализе вникать, конечно, не будем, но база нам понадобится, а следовательно, данный урок мы посвятим именно ей.

Высказывания. Операции над высказываниями

Высказывание — это любое утверждение, о котором можно сказать, что оно либо истинно либо ложно.

Существует всего пять операций над высказываниями:

  • конъюнкция;
  • дизъюнкция;
  • инверсия;
  • импликация;
  • эквиваленция

Попробуем разобраться в ним более подробно, для этого предположим, что у нас есть два высказывания А и В

Конъюнкция — оба высказывания истинны. Данной операции соответствует союз «и». Обозначается А ∧ В (А и В) .

Таблица истинности в двоичной системе (1-истинно, 0-ложно):

A B A ∧ B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Как видно из таблицы конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания А и В истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Пример №1

Высказывания: А — «8 делится на 4»; В — «8 делится на 2»

Тогда: A ∧ B — «8 делится на 4» и «8 делится на 2» — истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в логике употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи.

 

Дизъюнкция — одно из высказываний истинно. Данной операции соответствует союз «или». Обозначается: A ∨ B (А или В).

Кстати, данную операцию еще называют «логическое сложение», и сейчас по таблице истинности вы увидите почему:

A B A ∨ B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Как видно из таблицы дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний А или В истинно и ложным, если они оба ложны.

Пример №2

Высказывания: А — «6 > 4»; B — «2 > 3»

Тогда A ∨ B — «6 > 4» или «2 > 3» — истинно, потому что истинно одно из высказываний (А).

 

Инверсия (отрицание) — это обратное высказывание (если было истинно — то оно становится ложным, а если было ложным, то становится истинным). Данной операции соответствует союз «не». Обозначается ¬А (не А), также обозначается

Двойное отрицание (  ) соответствует изначальному высказыванию х.

Таблица истинности:

А ¬А
1 0
0 1

Как видно из таблицы отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно.

Импликация (следование) — это высказывание, содержащее условие и следствие. Данной операции соответствует слова «если…, то…» Обозначается A → B (если А, то В), где А — условие (посылка), а В — следствие (заключение).

Таблица истинности:

А В А →В
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Как видно из таблицы импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Пример №3

Высказывания: А– «15 делится на 5», В – «15 делится на 3».

Тогда импликация А → В – «если 15 делится на 5, то оно делится на 3» истинна, так как истинно условие А, и истинно заключение В.

 

Эквиваленция (двойная импликация) — это высказывание, при котором либо оба высказывания истинны либо оба ложны. Соответствует словам «тогда и только тогда, когда…» Обозначается А ⇔ В (А тогда и только тогда, когда В).

Таблица истинности:

А В А ⇔ В
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Как видно из таблицы эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания А и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Пример №4

Высказывания: А – «Треугольник MNK с вершиной M и основанием NK равнобедренный», В – «N=K».

Тогда эквиваленция А ⇔ В – «Треугольник MNK с вершиной M и основанием NK равнобедренный тогда и только тогда, когда N=KЭквиваленция A⇔B истинна, так как высказывания A и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

 

Предложения, зависящие от переменной.

Предложение Р(х), зависящее от переменной х, принадлежащей некоторому множеству М (х ∈ М), не является, вообще говоря, высказыванием. Например, об истинности предложения Р(х) = {х — простое число} ничего нельзя сказать, если не указать число х. Это предложение является истинным при одних значениях х (например, при х = 5, х = 7) и ложным при других значениях х (например, при х = 8, х = 15). Такие предложения называют неопределенными высказываниями (предикатами).

Знак общности ∀ (перевернутая первая буква английского слова All — все) заменяет слова “все”, “всякий”, “каждый”, “любой”. Если Р(х) — некоторое неопределенное высказывание, то запись ∀х Р(х) (или (∀x)P(x)) означает, что для любого элемента х ∈ М истинно Р(х), и представляет собой высказывание. Это высказывание истинно, если Р(х) истинно для каждого х ∈ М. Чтобы убедиться в ложности высказывания ∀х Р(х), достаточно указать хотя бы один противоречащий пример, допустим а ∈ М, для которого Р(а) — ложное высказывание.

Знак существования ∃ (перевернутая первая буква английского слова Exists — существует) заменяет слова “существует”, “найдется”. Запись ∃х Р(х) представляет собой высказывание; оно истинно, если существует такой элемент а ∈ М, для которого Р(а) истинно. В противном случае (если в множестве М нет ни одного элемента а, для которого Р(а) истинно) высказывание ∃х Р(х) ложно.

Правила построения отрицаний для предложений, содержащих символы ∀ и ∃ (их в логике называют кванторами), можно записать

¬(∀x ∈ M P(x)) ⇔ ∃x0 ∈ M ¬(P(x0))

¬(∃x0 ∈ M P(x0)) ⇔ ∀x ∈ M ¬(P(x))

Таким образом, для построения отрицания предложения, содержащего знаки ∀ и ∃ и утверждение Р, следует знак ∀ заменить на ∃, знак ∃ — на знак ∀, а утверждение Р — на его отрицание ¬Р.

Метод математической индукции

Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого номера n, достаточно установить, что:

А) это утверждение верно при n = 1;

Б) если утверждение справедливо для номера n (n — любое натуральное число), то оно верно и для следующего номера n + 1.

Пример №5

Пусть y = aх^2 + bx + C, a ≠ 0, — квадратичная функция, D = b^2 - 4ac. Доказать, что

∀x ∈ R  у ≥ 0} ⇔ {D ≤ 0, а > 0}

Составим равенство из уравнения и дискриминанта:

y = a(x+frac{b}{2a})^2+c-frac{b^2}{4a} = a[(x+frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a^2}]   (1)

Из данного равенства и условий D ≤ 0, a > 0 следует, что y ≥ 0 для всех х ∈ R (первый кусок доказали).

Теперь докажем вторую часть и используем для этого метод от противного.

Допустим, что D > 0 и квадратный трехчлен y = aх^2 + bx + C имеет действительные корни x_1 и x_2, а квадратичная функция меняет знак при переходе через точки x_1 и x_2. Следовательно, данное условие не возможно и D ≤ 0 и из равенства (1) и условия у ≥ 0 при всех x ∈ R следует, что а > 0 (доказано).

Если у вас остаются вопросы по теории или по практической части смело задавайте их в комментариях.

Множества. Комбинаторика

Множества

Множество – это любая совокупность объектов, называемых элементами множества.

К примеру, буквами N, Z, Q, R, C обозначаются множества:

N (Naturalis) – натуральные числа;

Z (Zahlen) – целые числа;

Q (Quisque) – рациональные числа;

R (Realis) – действительные числа;

C (Complex) – комплексные числа.

 

a A – объект «а» есть элемент множества А (a принадлежит множеству А)

a А – объект «а» не является элементом множества А

 

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В (А содержится в В) и обозначается А ⊂ В.

Если А ⊂ В и В ⊂ А, то множества равны А = В

Пустое множество (∅)не содержит объектов, но имеется в каждом множестве.


 

Операции над множествами

Объединение множеств

 

Множество, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В называется, объединением множества А и В, которое обозначается АВ или А+В.

 

 

Пересечение множеств

 

Множество, которое состоит из элементов, как множества А, так и множества В называется пересечением множества А и В, которое обозначается AB или АВ. Если A∩B = ∅, то значит, что множества не пересекаются.

 

Разность множеств

 

Множество, которое состоит из элементов множества А, но не содержит элементов множества В называется разностью множеств А и В, которое обозначается АВ.

 

 

Если А является подмножеством В (А⊂В), то разность множеств (ВА) называют дополнением множества А до множества В, которое обозначается АB .

Кстати, если рассматривается только одно конкретное подмножество, то чаще всего его просто называют дополнением и обозначают А’.

Отсюда следуют следующие равенства:

А∪А’ = B;     A∩A’ = ∅;   (A’)’ = A

Для любых подмножеств А и В множества U также следуют равенства:

(А∪В)’ = A’∩В’;     (A∩В)’ = А’∪ В’

Данные равенства называют законами двойственности (законы де Моргана).


Упорядоченные множества

Множество называется упорядоченным, если его элементы a и b обладают отношение порядка a ≤ b или b ≤ a, т.е (а не превосходит b или b не превосходит a), а также обладающие следующими свойствами:

  • рефлексивности: (a ≤ a), т. е. ни один из элементов не превосходит самого себя;
  • ассиметричности если (a ≤ b и b ≤ a), то элементы a и b равны;
  • транзитивности: если a ≤ b, а b ≤ c, то и a ≤ c.

 

Размещения и перестановки

Пусть имеется множество, состоящее из n-элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k-элементов называется размещением из n-элементов по k-элементов.

Обозначается число размещений: A_n^k

Формула вычисления числа размещений: A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1)).

Размещением из n-элементов по n-элементов называют перестановками из n-элементов.

Обозначается число перестановок: P_n

Формула вычисления числа перестановок: P_n = P! = 1*2*3*...*n.

 

Пример №1

Задача: группа студентов изучает восемь учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, состоящее из трех предметов.

И вот она, наша первая задачка.

Решается тут все довольно просто, главное правильно определить, где у нас множество, а где подмножество.

В данном случае, множество — это общее количество учебных дисциплин, а подмножество — это количество предметов в понедельник. Подмножества у нас упорядоченные, т.к. их количество меньше, чем количество множеств, поэтому используем формулу для вычисления числа размещений.

Итак, n — общее количество дисциплин (8), а k — количество предметов в понедельник (3).

A_8^3 = 8(8-1)(8-2) = 8*7*6 = 336

Ответ: существует 336 способа составления расписания.

Пример №2

Сколько шестизначных чисел, кратных пяти можно составить из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, но при условии что в числе цифры не повторяются!

Все мы прекрасно знаем, еще со школьной скамьи, что числа кратные пяти должны иметь последнюю цифру либо 0, либо 5. В нашем ряду нуля нет, а значит использовать можно только цифру пять, а остальные пять цифр могут стоять в любом порядке.

И чтобы найти количество шестизначных чисел кратных пяти, нужно найти число перестановок из пяти элементов, т.е. вычислить 5! = 1*2*3*4*5 = 120

Ответ: Из данных чисел можно составить 120 шестизначных чисел, кратных пяти.


 

Сочетания

Пусть имеется множество, состоящее из n-элементов. Каждое его подмножество, состоящее из k-элементов называется сочетанием из n-элементов по k-элементов. (не путайте с размещением).

Число всех сочетаний обозначается: C_n^k

Вычисляется число сочетаний по формуле: C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}

Также число сочетаний можно вычислить и по другой формуле: C_n^k = frac{n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))}{k!}

Пример №3

Проходит чемпионат страны по футболу (высшая лига), в котором участвуют 18 команд. Каждые две команды встречаются между собой дважды. Определить общее количество матчей в сезоне.

На самом деле, чтобы решить данную задачку можно прибегнуть к маленькой хитрости, а именно если всего команд 18 и каждые две играют между собой по два раза, то общее количество игр в сезоне можно найти перемножив общее количество команд (18) на общее количество команд минус 1 (18-1 = 17). В итоге 18*17 = 306 матчей.

Но комбинаторика советует все таки действовать по правилам и решить нашу задачу по формуле сочетания чисел, где n = 18 (равно количеству команд), а k = 2 (количество игр каждой команды с другой).

Итак, C^2_{18}= frac{18!}{2!(18-2)!} = frac{18!}{2!*16!} = frac{17*18}{1*2} = 153

Получилось не совсем то, что мы ожидали — правда?

Нет, мы решили все правильно) Просто мы нашли количество матчей в первом круге сезона (т.е. каждые команды сыграли между собой по одному разу), а так как во втором круге играется  ровно столько же матчей, то сложив их получим 153+153 = 306 матчей. Задача решена))

Ответ: в течение всего сезона будет сыграно 306 матчей.

Решим еще несколько примеров, в качестве закрепления

ПРИМЕР №4 Никакие три диагонали выпуклого десятиугольника не пересекаются в одной точке. Определить число точек пересечения диагоналей.

C^4_{10} = frac{10!}{4!-(10-4)!} = frac{7*8*9*10}{1*2*3*4} = frac{5040}{24} = 210

Можно перепроверить другим способом: число точек пересечения диагоналей выпуклого n-угольника, лежащих внутри этого многоугольника можно найти по формуле: frac{1}{24}*(n*(n-1)(n-2)(n-3))

Посчитаем для нашего случая: 10*9*8*7:24 = 210

Ответ: 210 точек

ПРИМЕР №5 Сколько различных десятизначных чисел можно записать, используя только цифры 1 и 2.

Если число, записанное единицами и двойками, содержит десять цифр, то таких чисел будет: A_2^{10} = 2^{10} = 1024

Ответ: 1024 числа

ПРИМЕР №6 Сколькими способами можно упаковать 9 разных книг в 5 бандеролей, если 4 бандероли должны содержать по 2 книги.

  1. выбираем книгу в маленькую бандероль — 9 способов;
  2.  из оставшихся 8 выбираем пару книг в первую бандероль 8*7, причем так как у нас получается дублирующие случаи (сначала берем 1, потом 3 или сначала 3, потом 1 книги) , делим пополам;
  3.  аналогично заполняем третью, четвертую и пятую бандероли.

В итоге получаем:

frac{C_9^2*C_7^2*C_5^2*C_3^2*C_1^1}{4!} = frac{22680}{24} = 945

Ответ: 945 способов.

 

Спасибо за внимание, я надеюсь все разобрались с данной темой.

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.