Элементарная алгебра и геометрия

Высшая математика — это, конечно, очень увлекательно и порой даже сложно, но пытаться что-то понять не зная школьной элементарной базы крайне трудно и порой даже невозможно. Поэтому мы повторим самые основные темы школьного курса алгебры и геометрии.

Линейная функция и ее график

На прошлом уроке мы рассмотрели прямую пропорциональность и ее график. Сейчас мы рассмотрим уже более сложную функцию, хотя как сложную просто немного посложнее.

Рассмотрим примеры функций

ПРИМЕР 1 Расстояние между двумя городами (обозначим их А и В) 30 км. Мотоциклист выехал из пункта В, в направлении противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от города А на расстоянии 50t+30км. Если обозначить буквой s расстояние от города А до мотоциклиста, то зависимость этого расстояния от времени можно выразить формулой

s=50t+30,

где t ≥ 0.

ПРИМЕР 2 Школьник купил тетради по 5 рублей за штуку и ручку за 10 рублей. Обозначим число приобретенных тетрадей буквой x, а стоимость всей покупки y. Тогда получим

y=5x+10

где x — натуральное число.

Определение

В рассмотренных примерах мы встретились с функциями, которые заданы формулами вида

y=kx+b,

где x — независимая переменная, а k и b — числа.

Такие функции называют линейными функциями.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x — независимая переменная, а k и b — некоторые числа. 

Прямая пропорциональность, которую мы изучали на прошлом уроке тоже относится к линейной функции, но это ее частный случай, где второго числа нет или оно равно нулю.

Теперь давайте выясним, какой график имеет линейная функция.

В качестве примера возьмем простую функцию, соответствующую формуле y=2x-4 ,а также сравним ее значения с прямой пропорциональностью y=2x при тех же значениях x.

х -2 -1 0 1 2
-4 -2 0 2 4
2х — 4 -8 -6 -4 -2 0

Уже исходя из значений обоих функций видно, что для любого значения аргумента x значение функции y=2x-4 на 4 единицы меньше значения функции y=2x

Теперь построим графикиyotx.ru (4)

Как видите по графику данные прямые параллельны.

График функции y=kx+b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y=kx.

Кстати, бывают случаи, при которых k = 0, тогда уравнение примет вид y=b, при котором график функции будет параллелен оси Х, и иметь значение аргумента равное числу b.

К примеру, построим график функции y = 2

yotx.ru (5)

Данная функция также является линейной.

Для построения прямой достаточно двух точек, т.к. в прямой пропорциональности одна точка была известна, то мы находили всего одну точку, в линейной же функции нам нужно найти 2 точки.

 

Ну на этом все, вроде я все рассказал, поэтому можно заканчивать.

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Прямая пропорциональность и ее график

На предыдущих уроках вы узнали, что такое функция, а также научились строить графики функций. Но функции, как и все другое имеют свою классификацию и на данном уроке мы познакомимся с самой простой функцией.

Определение

Рассмотрим пример.

Пусть V — объем деревянного бруска, выраженный в кубических сантиметрах, а m — его масса, выраженная в граммах. Любой материал, если вы не знаете имеет свою плотность (с уроков физики, вы узнаете, что плотность задается формулой \rho=V \cdot m). Но для определения плотность вообще существуют таблицы, умные люди давно уже все рассчитали, а нам остается только найти нужную информацию. Конечно, плотность древесины отличается, в зависимости, от дерева, из которого она была изготовлена, поэтому допустим наш брусок изготовлен из дуба. Тогда плотность нашего бруска равна 0,69 г/см^3, следовательно масса нашего бруска m = 0,69V. А вот зависимость массы нашего бруска, от его объема является примером функции, которое задается уравнением y = kx, где x — независимая переменная, а k — число, отличное от нуля. Такая функция называется прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx, где х — независимая переменная, а k — число, не равное нулю.

Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

ПРИМЕР 1

Путь s км — это пройденный пешеходом за t ч с постоянной скоростью 3 км/ч, вычисляется по формуле s = 3t, где t > 0, т.е. зависимость пути от времени является прямой пропорциональностью.

ПРИМЕР 2

Стоимость p товара в рублях по цене 30 р. за кг. вычисляется по формуле p=30x, где x — масса товара в килограммах. В данной задаче также представлена прямая пропорциональность.

 

Ну чтож а теперь давайте посмотрим, что же представляет собой график прямой пропорциональности.

В качестве примера воспользуемся функцией y=1,5x и построим график этой функции.

Область определения прямой пропорциональности — это вся числовая прямая (т.е. мы можем брать абсолютно любые числа). Составим таблицу значений аргумента:

x -2 0 2
y -3 0 3

Отменим эти три точки на координатной плоскости и соединим их. Как видите у нас получилась прямая, проходящая через начало координат. Но так как это прямая — то у нее нет начала и нет конца (мы ведь могли взять любые точки), а значит функция не должна ограничиваться в точках. Посмотрите, как вышло у меня:

yotx.ru (2)

Рассуждая аналогично, можно построить также и другие графики, к примеру y = -0,5x построим в той же плоскости

Для начала заполним таблицу значений аргумента:

х -1 0 1
y 0,5 0 -0,5

График я нарисовал красным цветом

yotx.ru (3)

Как видите данный график также проходит через начало координат.

Вообще,

график прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0; 0).

Как вы еще заметили, график прямой пропорциональности симметричен относительно четвертей координатной плоскости, а значит, чтобы построить график вам потребуется найти лишь одно значение аргумента (одну точку x) и провести прямую через нее и через точку (0; 0).

 

Ну вроде по данному типу функций, я все рассказал, а значит, пора заканчивать урок. Всем спасибо.

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Функции и их графики. Часть 2

Продолжаем разбираться с функциями, первую часть урока можно найти по ссылке: Функции и их графики. Часть 1

График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой

y=\frac{6}{x+3}

где -2 ≤ х ≤ 3.

По данной формуле можно найти соответствующее значение функции для любого значения аргумента.

Давайте составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2 3
y 6 3 2 1,5 1,2 1

Значения y находиться очень просто, нужно лишь значение х подставить в наше уравнение.

Теперь построим координатную плоскость, и отметим на ней все точки, считая значение x — абсциссой, а соответствующее значение y — ординатой.

После этого аккуратно соединяем все точки (соединять желательно не прямыми линиями от точки к точке, а более красиво, как сделал я.

yotx.ru (31)

Значения x можно брать абсолютно любые, главное, чтобы они соответствовали условию, в нашем случае это -2 ≤ х ≤ 3. Все такие точки и образуют график функции. 

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ПРИМЕР 1 Построить график функции y=x(4-x), где -2 ≤ x ≤ 2

Все очень просто, также составляем таблицу значений, точки выберем из всех целых чисел, чтобы было удобнее строить

х -2 -1 0 1 2
y -12 -5 0 3 4

Теперь отметим в координатной плоскости точки и соединим их

yotx.ru (32)

График функции построен!

Кстати, чем больше точек, принадлежащих графику мы отменим, тем точнее будет построен график!

ПРИМЕР 2 Дан график, по нему необходимо определить:

а) значение функции при х = 4;

б) значения х, при которых значение функции равно 3

Собственно сам график

yotx.ru (1)

а) Чтобы найти значение функции в точке х = 4, нужно от это точки провести перпендикуляр к оси Y и та точка, в которой перпендикуляр пересечет ось и будет являться значением функции в данной точке.

Для нашего случая, значение функции в точке х = 4, равно 3

б) Тоже самое делается, если нужно найти значения х, только в этом случае перпендикуляр проводиться к оси Х.

Как вы заметили по моему графику, значение функции равно 3 в четырех точках, а именно -4; -2,2; 2,2; 4.

Во всех этих точках значение х будет равно трем.

 

Графики используются везде, включая большинство дисциплин (от математики до географии, экономики и т. д.)., ведь именно по графику можно увидеть зависимость между величинами.

 

На этом, думаю, можно закончить нашу беседу. Вроде все рассказал, что знал. Дальше мы с вами уже изучим более конкретные функции и их графики, которые будут нам необходимы для изучения математики в дальнейшем.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

Функции и их графики. Часть 1

Сегодня, на уроке, мы познакомимся с таким понятием, как функция и попробуем разобраться, что такое график функции и с чем его едят. Тема довольно важная, поэтому, чтобы не упустить никаких деталей я разделю эту тему на два урока.

Что такое функция

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. К примеру, площадь круга зависит от радиуса, площадь квадрата зависит от длины его стороны, а масса бруска зависит от его объема и плотности.

Так вот в ближайшие уроки мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Пример №1 Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна – a, а площадь квадрата равна S. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так например,

если a = 8 см, то S = 8^2=64см2;

если a=12 м, то S = 12^2=144 м2;

если a=0,3мм, то S=0,3^2 = 0,09 мм2

и так далее…

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой:

S=a^2,

где a – независимая переменная (задается произвольно), а S – зависимая переменная (получается в результате вычислений).


 

Пример №2 Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения автомобиля (t).

Обозначим время – t, а расстояние, пройденное автомобилем – s.

Например,

если t = 3 часа, то S = 50*3=150 км

если t = 1,2 часа, то S = 50*1,2 = 60км

и так далее…

В данном случае, зависимость переменной s, от переменной t выражается формулой:

s = 50t,

где t – независимая переменная, а s – зависимая переменная.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или просто функцией.

Вычисление значений функции по формуле

Функции, которые мы рассматривали выше, задавались различными способами. Наиболее распространенным способом является задание функции при помощи формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента, находить соответствующее значение функции путем преобразований и вычислений.

Пример №3

Пусть функция задана формулой y=\frac{4x+7}{3}, где  -2 ≤ x 2

Найдем значения функции для целых значений аргумента.

В нашем случае значения аргумента будут: -2, -1, 0, 1 и 2.

Чтобы найти значение функции для каждого значения аргумента нужно подставить все значения в нашу функцию,

т.е. при х = -2 имеем y=\frac{4*(-2)+7}{3} = \frac{-1}{3}

и так для всех оставшихся значений

Проще всего сделать таблицу:

x -2 -1 0 1 2
y -1/3 1 7/3 11/3 5

Мы составили таблицу значений функции с шагом – 1.  Здесь, в исходном примере была указана область определения функции, но бывает, что область определения D(y) не указывается вовсе, тогда мы принимаем за х все возможные значение, кроме тех, которые запрещены правилами. К счастью, вы знаете пока только одно правило «делить на ноль нельзя!», но есть и другие и о них вы узнаете позже. Чтобы было проще понять представим две функции:

y = 6(5x+4) и y = \frac{13+7x}{x-1}

Для первой функции область определения — вся числовая прямая, т.е. x может принимать абсолютно любое значение.

Для второй функции область определения — вся числовая прямая, кроме х = 1, при котором знаменатель обращается в ноль.

С помощью формулы можно найти и значение аргумента при заданном значении функции. Т.е. при известном y нужно будет найти неизвестное значение x.

На следующем уроке мы с вами научимся строить графики функций на плоскости.

Пример №4 Найти область определения функции

а) y=x^2+8

D(y) — вся числовая прямая

б) y= \frac{1}{x-1}

D(y) — вся числовая прямая, кроме x-1 = 0 ⇒ x = 1

в) y=\frac{4x-1}{5}

D(y) — вся числовая прямая

Здесь решать особо нечего можно и в уме просчитать все.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Статистические характеристики

Данная тема будет полезна тем, кто хочет в дальнейшем подробно изучать предмет «Математическая статистика», ну и, конечно, для самых любознательных.

Среднее арифметическое

Десять учеников засекли время выполнения домашнего задания и получили результаты ( в минутах): 15, 17, 35, 24, 17, 29, 14, 20, 21, 30.

Чтобы найти сколько времени в среднем уходит на выполнение домашнего задания необходимо сложить все результаты и разделить на общее количество человек. Получаем:

\frac{15+17+35+24+17+29+14+20+21+30}{10} = 22,2 минуты.

Получается, что в среднем для выполнения данного домашнего задания ученикам требуется 22,2 минуты — этот результат и называется средним арифметическим.

Среднее арифметическое ряда чисел — это частное суммы чисел на число слагаемых.

Размах

Если взять все тот же пример, представленный вначале, то можно сказать, что использование среднего арифметического не всегда целесообразно. Ведь учитель не может заставить детей выполнять задание именно за 22,2 минуты, потому что кто-то может выполнить его быстрее, а кто-то намного дольше. Конечно, всегда нужно стремиться к лучшему результату, но сравнивать умственные способности таким уровнем нельзя. Тем более учитывая, что между учеником, который выполнил задание быстрее всех (14 минут) и учеником, который провозился аж 35 минут разность целая 21 минута. Кстати, 21 минута — это размах ряда.

Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим показателем.

Размах ряда нужно знать, чтобы видеть разброс между значениями данных ряда.

Мода

Кроме среднего арифметического и размаха также полезно знать, какой расход времени, к примеру, является типичным для большинства. В нашем ряду чаще всего встречается число — 17, а это число будет модой ряда.

Мода ряда чисел — это число, которое встречается чаще других в ряду.

Ряд чисел может иметь две моды и более, а иногда, и вовсе не иметь ее вообще.

Пример №1 Бригадир решил проверить сколько деталей изготовили рабочие за рабочую смену, и получил такие результаты:

32, 18, 31, 25, 35, 32, 30, 27, 20, 19, 31, 35, 37, 40, 26

Необходимо вычислить среднее арифметическое, размах и моду ряда показателей.

Вычисляем среднее арифметическое:

\frac{32+18+31+25+35+32+30+27+20+19+32+35+37+40+26}{15} = \frac{439}{15} ≈29

Вычисляем размах:

40-18 = 22

Мода ряда: чаще всего встречается число — 32.

Все, задачка решена!

Идем дальше…

Медиана

Возьмем другой пример.

Возьмем подъезд трехэтажного дома с тремя квартирами на этаже и рассмотрим расход электроэнергии каждой квартиры за январь (проще всего представить данные в таблице):

Номер квартиры 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Расход э/э (кВт*ч) 85 64 78 93 72 91 72 75 82

А теперь расположим ряд значений в упорядоченной форме (от меньшего к большему):

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93

Из данного ряда возьмем средне число (расположенное в центре) — 78.

Данное число в ряду будет называться срединным или просто медианой.

Медианой упорядоченного ряда чисел называется число, находящееся посередине.

Кстати, если чисел — 10 или 20 или любое другое четное число, где по-середине находятся сразу два числа медианой будет являться среднее арифметическое этих двух чисел.

 

Такие показатели, как среднее арифметическое, размах, медиана, мода по-разному характеризуют полученные данные и на практике используются в зависимости от обстоятельств, которые необходимо узнать из полученных наблюдений.

 

 

Если остались вопросы по новому материалу или по задачкам после темы пишите в комментариях, не стесняйтесь!