Элементарная алгебра и геометрия

Высшая математика — это, конечно, очень увлекательно и порой даже сложно, но пытаться что-то понять не зная школьной элементарной базы крайне трудно и порой даже невозможно. Поэтому мы повторим самые основные темы школьного курса алгебры и геометрии.

Сумма и разность многочленов

Многочлен и его стандартный вид

Выражение 4x^2y-5z+6y-1 представляет собой сумму одночленов 4x^2y, 2y, 6y и -1. Такие выражения называются многочленами.

Определение: многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x^2y-5z+6y-1 являются 4x^2y, 2y, 6y и -1. Читать далее

Одночлен. Умножение и возведение в степень одночлена

Тема очень простая, читаем внимательно и вникаем.

Одночлен и его стандартный вид

Одночленом называется выражения, которые являются произведениями чисел, переменных и их степеней.

Примеры одночленов: -7, y, 3a^3b, -6x, 6s^3f^7

Стандартным видом одночлена называют одночлен на первом месте, которого находится число (если есть), а далее идут переменные со степенями (переменные не повторяются).

К примеру, 6x^2(-4) — это одночлен, который не приведен к стандартному виду, чтобы его привести потребуется умножить числа между собой, а переменную оставить прежней. Получается -24x^2.

Число -24 называется коэффициентом одночлена.

Умножение одночленов  

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правила умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, при этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

ПРИМЕР 1. Умножить одночлены: -4b^3c^2 и 3b^2c^4d

В первую очередь перемножаем числа, далее умножаем степени с одинаковыми основаниями. Если вы не забыли, то при умножении степеней с одинаковыми основаниями степени просто складываются, а основание остается прежним.То есть:

-4b^3c^2 \cdot 3b^2c^4d = (-4 \cdot 3) \cdot (b^3b^2) \cdot (c^2c^4) \cdot d = -12b^5c^6d

-12b^5c^6d — одночлен стандартного вида, это и есть наш ответ.

ПРИМЕР 2. Возведем в четвертую степень следующий одночлен 3a^4b^2c

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно каждое число и каждую переменную возвести в эту степень. Чтобы возвести степень в степень нужно степени перемножить, а основание оставить прежним (если забыли).

(3a^4b^2c)^4=3^4(a^4)^4(b^2)^4c^4=81a^16b^8c^4

Мы получили одночлен стандартного вида, который и будет нашим ответом.

 

Думаю примеры больше не нужны и так все предельно ясно, попрактикуйтесь и поймете, что здесь все очень просто. Если, что-то будет непонятно пишите в комментариях, я отвечу или дополню данный урок еще дополнительными примерами.

Возведение в степень произведения и степени

Возведение в степень произведения

Выражение (ab)^4 является степенью произведения множителей a и b. Данное выражение можно представить в виде степеней a и b:

(ab)^4=ab \cdot ab \cdot ab \cdot ab = (aaaa) \cdot (bbbb) = a^4b^4

Отсюда делаем вывод, что

(ab)^4=a^4b^4

Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

Для любых a и b и произвольного натурального числа n 

(ab)^n=a^nb^n

Данное свойство распространяется и на большее число множителей, т.е.

(abc)^3=a^3b^3c^3 и т .д.

Отсюда можно вывести правило:

чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

ПРИМЕР 1 Возведем в 4 степень произведение 3xy

Согласно правилу, чтобы выполнить условие примера необходимо, каждый из множителей возвести в четвертую степень:

3^4x^4y^4=81x^4y^4

А теперь давайте немного усложним и придадим неизвестным значения: х = 2, y = -4. Подставим их и получаем:

81 \cdot 2^4 \cdot (-4)^4 = 81 \cdot 16 \cdot 256 = 331 776

Ответ: 331 776

Возведение степени в степень

Выражение (b^4)^3 есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием b:

(b^4)^3=b^4b^4b^4=b^4+4+4=b^{4 \cdot 3}=b^{12}

Отсюда следует правило:

При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются.

ПРИМЕР 2 Представим выражение (x^4)^2 в виде степени с основанием x.

Имеем:

(x^4)^2=x^{4 \cdot 2}=x^8

Проще простого)

Кстати, свойства степеней, изученных на данном уроке относятся и к нулевым показателям, если основание отличное от нуля, т.е.

(x^3)^0=x^0=1 или (ac)^0=a^0a^0=1

Основные свойства степени

Ну и для тех кому было лень читать два урока по степеням, приведу все основные свойства еще раз:

Умножение степеней: a^3a^4=a^{3+4}=a^7

Деление степеней: a^4:a^2 = a^{4-2}=a^2

Нулевая степень: a^0=1

Степень произведения: (ab)^3=a^3b^3

Степень степени: (a^3)^7=a^{3 \cdot 7} = a^{21}

На этом можно и закончить знакомство со степенями, все основное вы должны были узнать, самое главное научиться применять все это на практике. Но думаю и с этим вы справитесь.

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Умножение и деление степеней

Умножение степеней

Выражение b^3b^2 представляет собой произведение двух степеней с одинаковым основанием. Это произведение можно записать и по-другому, а именно избавиться от степеней и представить их в виде множителей, в общем b^3=bbb, а b^2=bb, теперь если их перемножить, то получаем bbb \cdot bb = bbbbb. И если снова множители записать в виде степени получим, bbbbb = b^5.

Исходя из этого можно с уверенностью сказать, что

b^3b^2=b^{3+2}=b^5

И отсюда, мы можем вывести следующее правило

Для любого числа a и произвольных натуральных чисел m и n

a^ma^n=a^{m+n}

Данное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется не только на две степени, но и на три и более.

c^mc^nc^k=c^{m+n+k}

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней:

при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

ПРИМЕР 1 Вычислить x^3x^4 при x=2

x^3x^4=x^{3+4}=x^{7}=2^7=128

Деление степеней

Выражение b^6 : b^3 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Данное выражение имеет смысл, только если b ≠ 0. Давайте также как и в случае с умножением представим наши степени в виде множителей:

\frac{bbbbbb}{bbb}. Теперь если сократим получившееся выражение, то получим bbb или b^3. Отсюда можно сделать вывод, что b^6 : b^3 = b^{6-3} = b^3. Аналогично можно делать и с другими степенями. Исходя из полученных результатов сформулируем еще одно свойство степени:

Для любого числа а ≠ 0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m > n,

a^m : a^n = a^{m-n}

Доказывать данное свойство я не буду, лишняя трата времени, но теперь сформулируем правило деления степеней:

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

ПРИМЕР 2 Вычислить x^9 : x^3 при x=3

x^9 : x^3 = x^{9-3}=x^6=3^6=729

И давайте рассмотрим еще один частный случай, к примеру, вычислить x^4 : x^4. Исходя из правила мы получаем: x^4 : x^4 = x^{4-4}=x^0.

Но как мы говорили на предыдущем уроке, любое число в нулевой степени равно единице, а значит и в нашем случае будет единица.

Сформулирую правило, если кому не понятно:

Степень числа a, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Ну вроде я все рассказал, надеюсь всем всё понятно)

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Определение степени с натуральным показателем

Вы уже давно знаете, что для того, чтобы уменьшить записи одинаковых слагаемых придумали умножение, но если вы вдруг не знали, то для того, чтобы уменьшить записи одинаковых множителей, также придумали свое действие.

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью. Например:

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6

Повторяющийся множитель называют основанием степени, а количество таких множителей — показателем степени.

Так, в нашем выражении 3^6, 3 — основание степени, а 6 — показатель.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется выражение a^n, равное произведению n-множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа a с показателем 1 называется само число a.

Читается такая запись так «а в степени n». К примеру, 3^6 читается «три в шестой степени» или «три в степени шесть» или «шестая степень числа три».

Нахождение значения степени называют возведением в степень. К примеру,

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 или 1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

При возведение в степень положительного числа получается положительное число, при возведение в степень нуля получается нуль.

При возведении в степень отрицательного числа может получиться, как отрицательное, так и положительное число. Ведь вы прекрасно помните, что «минус на минус дает плюс». Т.е. исходя из этого, если отрицательное число возвести в четную степень получится положительное число, а если в нечетную степень, то отрицательное число.

Степень отрицательного числа с четным показателем — положительное число; Степень отрицательного числа с нечетным показателем — отрицательно число.

При нахождении значения выражений, в первую очередь, если нет скобок, выполняется возведение в степень!

ПРИМЕР 1 Найдем значение выражения 2 \cdot 3^5

  1. Возводим в степень: 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  2. Находим произведение: 2 \cdot 243 = 486

Ответ: 2 \cdot 3^5=486

ПРИМЕР 2 Найдем значение выражения -2^7+(-5)^3

  1. Возводим в степень: 2^6=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128
  2. Добавляем минус: -2^6=-128
  3. Возведем в степень: (-5)^3=(-5) \cdot (-5) \cdot (-5)=-125
  4. Находим сумму: -128+(-125)=-253

Ответ: -2^7+(-5)^3=-253

Думаю достаточно, всем спасибо!

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.