Архив за месяц: Октябрь 2017

Тригонометрические функции числового аргумента

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число \sin\; t. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение \sin\; t, нужно: Читать далее

Одночлен. Умножение и возведение в степень одночлена

Тема очень простая, читаем внимательно и вникаем.

Одночлен и его стандартный вид

Одночленом называется выражения, которые являются произведениями чисел, переменных и их степеней.

Примеры одночленов: -7, y, 3a^3b, -6x, 6s^3f^7

Стандартным видом одночлена называют одночлен на первом месте, которого находится число (если есть), а далее идут переменные со степенями (переменные не повторяются).

К примеру, 6x^2(-4) — это одночлен, который не приведен к стандартному виду, чтобы его привести потребуется умножить числа между собой, а переменную оставить прежней. Получается -24x^2.

Число -24 называется коэффициентом одночлена.

Умножение одночленов  

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правила умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, при этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

ПРИМЕР 1. Умножить одночлены: -4b^3c^2 и 3b^2c^4d

В первую очередь перемножаем числа, далее умножаем степени с одинаковыми основаниями. Если вы не забыли, то при умножении степеней с одинаковыми основаниями степени просто складываются, а основание остается прежним.То есть:

-4b^3c^2 \cdot 3b^2c^4d = (-4 \cdot 3) \cdot (b^3b^2) \cdot (c^2c^4) \cdot d = -12b^5c^6d

-12b^5c^6d — одночлен стандартного вида, это и есть наш ответ.

ПРИМЕР 2. Возведем в четвертую степень следующий одночлен 3a^4b^2c

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно каждое число и каждую переменную возвести в эту степень. Чтобы возвести степень в степень нужно степени перемножить, а основание оставить прежним (если забыли).

(3a^4b^2c)^4=3^4(a^4)^4(b^2)^4c^4=81a^16b^8c^4

Мы получили одночлен стандартного вида, который и будет нашим ответом.

 

Думаю примеры больше не нужны и так все предельно ясно, попрактикуйтесь и поймете, что здесь все очень просто. Если, что-то будет непонятно пишите в комментариях, я отвечу или дополню данный урок еще дополнительными примерами.

Матрица и операции над ней

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины.

Определение матрицы

Матрицей A размерности m \times n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов, число расположенное в i-ой строке и j-столбце обозначается a_{ij} и называется элементом матрицы A, т. е.

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Операции над матрицами

Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами:

  • сумма матриц;
  • произведение матрицы на число;
  • произведение матриц;
  • транспонирование матрицы

Сумма матриц

Сумма матриц A_{m \times n} и B_{m \times n} называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, где  i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример, чтобы стало понятнее.

ПРИМЕР 1. Найди сумму матриц А и В.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Как ясно из определения, чтобы найти сумму двух матриц нужно просто каждый элемент одной матрицы сложить с каждый элементом второй матрицы.

C=\begin{bmatrix} -4+(-1) & 6+0 & 0+3 \\ 8+5 & 2+1 & -2+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 6 & 3 \\ 13 & 3 & 0 \end{bmatrix}

Как видите здесь сложного абсолютно ничего нет, так можно складывать и три и более матриц.

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы A_{m \times n} на число \alpha называется матрица C_{m \times n} такая, что c_{ij}= \alpha a_{ij}, где i=1,2, \dots, m; j=1,2, \dots, n

Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2. Умножь матрицу А на число 2.

A=\begin{bmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 8 & 2 &-2 \end{bmatrix}; \alpha = 2

Эта операция, наверное, еще проще предыдущей. Нужно просто число умножить на каждый элемент матрицы А.

\alpha A=\begin{bmatrix} -4 \cdot 2 & 6 \cdot 2 & 0 \cdot 2 \\ 8 \cdot 2 & 2 \cdot 2 &-2 \cdot 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -8 & 12 & 0 \\ 16 & 4 &-4 \end{bmatrix}

Произведение двух матриц

Произведением матрицы A_{m \times n} на матрицу B_{n \times k} называется матрица C_{m \times k} такая, что c_{ij}=a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \dots + a_{in} \cdot b_{nj}

Условие: количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй матрицы, иначе умножение невозможно!

Здесь уже более сложно так, что будьте внимательны. Чтобы сперва понять, возьмем пример самый простой с квадратными матрицами второго порядка.

ПРИМЕР 3. Вычислить произведение двух матриц.

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

Сразу, я вам не советую составлять матрицы, а делать все постепенно, подробно расписывая. Потом, когда приловчитесь, будете записывать все кратко и большинство действий проделывать в голове.

Поэтому по-порядку, распишем каждое получаемое число:

c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} = -2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = -2+5=3

c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = -2 \cdot -3 + 5 \cdot 4 = 6+20=26

c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 3+0=3

c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot -3 + 0 \cdot 4 = -9+0=-9

Если записываете данные вычисления в тетради, то не забудьте выделить с обоих сторон фигурными скобками, обозначая отступление от решения { }.

Теперь можно записать получившуюся матрицу С, не забывайте — первое число элемента матрицы — это строка, второе число — столбец.

В итоге, получаем

C=\begin{bmatrix} 3 & 26 \\ 3 & -9 \end{bmatrix}

ЗАПОМНИТЕ!  При умножении матриц НЕ действует закон коммутативности (от перестановки мест множителей произведение не меняется). В матрицах произведение меняется, т. е. у вас не получится поменять местами две матрицы.

Так, думаю, стоит рассмотреть еще один пример на умножение, но уже по-сложнее, к примеру, третьей размерности возьмем матрицы.

ПРИМЕР 4. Вычислить произведение двух матриц.

 

A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ -5 & 4 & -1 \end{bmatrix}; B=\begin{bmatrix} 7 & -3 & 1 \\ 8 & -5 & 4 \\ -3 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21} +a_{13}b_{31} =5 \cdot 7+(-3) \cdot 8+4 \cdot (-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b_{22} +a_{13}b_{32} =5 \cdot (-3)+(-3) \cdot (-5)+4 \cdot 0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b_{23} +a_{13}b_{33} = 5 \cdot 1+(-3) \cdot 4+4 \cdot 2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b_{21} +a_{23}b_{31} = 6 \cdot 7+1 \cdot 8+0 \cdot (-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b_{22} +a_{23}b_{32} = 6 \cdot (-3)+1 \cdot (-5)+0 \cdot 0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b_{23} +a_{23}b_{33} = 6 \cdot 1+1 \cdot 4+0 \cdot 2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b_{21} +a_{33}b_{31} = (-5) \cdot 7+4 \cdot 8+(-1) \cdot (-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b_{22} +a_{33}b_{32} = (-5) \cdot (-3)+4 \cdot (-5)+(-1) \cdot 0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b_{23} +a_{33}b_{33} = (-5) \cdot 1+4 \cdot 4+(-1) \cdot 2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

C=\begin{bmatrix} -1 & -30 & 1 \\ 43 & -23 & 10 \\ 0 & -5 & 9 \end{bmatrix}

Транспонирование матрицы

Матрица A^T_{n \times n} называется транспонированной матрицей A_{m \times n}, если

a_{ij}^T=a_{ji}, где i=1,2, \dots, n; j=1,2, \dots, m

ПРИМЕР 5. Транспонировать матрицу А:

A=\begin{bmatrix} -2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -2 \end{bmatrix}

A^T=\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}

Как видите первый столбец стал первой строкой, второй столбец второй строкой и так далее. Ничего сложного не вижу в этом и обычно у студентов проблем с транспонированием не возникает.

Свойства операций над матрицами

  1. A+B=B+A
  2. A+(B+C)=(A+B)+C
  3. A \cdot B \not= B \cdot A       ВНИМАТЕЛЬНО!
  4. A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C
  5. (A+B) \cdot C = AC + BCC \cdot (A+B)=CA+CB
  6. ( \alpha + \beta )\cdot A = \alpha A + \beta A
  7. \alpha (A+B) = \alpha A + \alpha B
  8. (A^T)^T=A
  9. (A+B)^T = A^T+B^T
  10. (A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T    ВНИМАТЕЛЬНО!

Ну думаю для первой темы вам будет предостаточно, в принципе ничего сложного, ведь все операции над матрицами сводятся к простым арифметическим операциям, которые вы надеюсь умеете выполнять еще с начальной школы.

Схема Бернулли

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события A.

Биноминальное распределение

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступление какого-то события A (успех) или его не наступление \overline {A} (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна P(A)=p, (0 \leqslant p \leqslant 1) – постоянна и не зависит от номера испытания. Следовательно, вероятность неуспеха P(\overline A)=1-p=q — тоже постоянна.

Сформулируем задачу – вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k – раз. Чтобы стало понятнее сделаю схематический чертеж:

\underbrace{ \overbrace{p p .............. p}^{k} \overbrace {\rm q q ........ ....... q q}^{n-k}}_{n}

По теореме умножения вероятностей независимых событий искомая вероятность будет равна:

P=p \cdot p \cdot \dots \cdot p \cdot q \cdot q \dots \cdot q=p^k \cdot q^{n-k}

Однако интересующее нас событие ( k успехов при n опытах) может произойти не только одним способом. Число возможных вариантов (комбинаций) выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

C_n^k=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Окончательно получим

P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}=\frac{n! \cdot p^k \cdot q^{n-k}}{k! \cdot (n-k)!}

Это и есть формула Бернулли (биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(p+k)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли следует:

\sum_{k=0}^n P_n(k)=1

Очевидно этот же результат получится, если учтем, что для k={0, 1, 2, \dots n} получим полную группу событий, вероятность которых равна 1.

Теперь давайте все эти сперва непонятные формулы рассмотрим на примере.


ПРИМЕР 1. В семье 10 детей. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность того, что в семье имеются 0, 1, …, 10 мальчиков.

Решение

Отметим, что в силу предположения p=q=0,5 и равенства C^m_n=C_n^{m-n} имеют место равенства: P_n(m)=P_n(n-m). Отсюда получим:

 P_{10}(0)=P_{10}(10)=C^0_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{1}{1024},

P_{10}(1)=P_{10}(9)=C^1_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{10}{1024},

P_{10}(2)=P_{10}(8)=C^2_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{45}{1024},

P_{10}(3)=P_{10}(7)=C^3_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{120}{1024},

P_{10}(4)=P_{10}(6)=C^4_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{210}{1024},

P_{10}(5)=C^5_{10} \cdot \frac {1}{2^{10}}=\frac{252}{1024}

ОТВЕТ

В многодетной семье с десятью детьми мальчиков и девочек будет поровну с вероятностью ≈ 0,25. Вероятность того, что в семье будут дети одного пола (мальчики или девочки) – чуть меньше одной пятисотой.


График биноминального распределения

Введем следующее обозначение, пусть P_n(m_1 \leqslant k \leqslant m_2) означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем m_1 раз, и не более чем m_2 раз (0 \leqslant m_1 \leqslant m_2 \leqslant n). Так как события, соответствующие различному числу успехов попарно несовместны, то имеет место формула:

P_n(m_1 \leqslant k \leqslant m_2)=\sum_{k=m_1}^{m_2} P_n(k).

Вероятность P_n(1 \leqslant m \leqslant n) того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы один раз, вычисляется по формуле:

P_n(1 \leqslant k \leqslant n)=1-P_n(0)=1-q^n

Типичный график биномиального распределения для p=0,5; n=20:

График вероятностей биномиального распределения

Заострять внимание на графике, думаю, не нужно так как все предельно ясно, график очень похож на параболу, имеет свой максимум, в котором вероятность успеха будет максимальной. Поэтому лучше поработаем дальше с формулами, с которыми все немного сложнее.

Сформулируем задачу: необходимо найти k_0 — наивероятнейшее число успехов, то есть такое k_0, вероятность которого максимальна.

Запишем условия максимума вероятности (их два):

а) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0-1)} \geqslant 1;   б) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0+1)} \geqslant 1.

Запишем неравенства а) и б) в явном виде:

а) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0-1)}=\frac{n!}{k_0!(n-k_0)!} \cdot \frac{(k_0-1)!(n-k_0+1)}{n!} \cdot \frac{p^{k_0}q^{n-k_0}}{p^{k_0-1}q^{n-k_0+1}}=\frac{(n-k_0+1)p}{k_0q} \geqslant 1, k_0 \leqslant np+p;

б) \frac{P_n(k_0)}{P_n(k_0+1)}=\frac{n!}{k_0!(n-k_0)!} \cdot \frac{(k_0+1)!(n-k_0-1)}{n!} \cdot \frac{p^{k_0}q^{n-k_0}}{p^{k_0+1}q^{n-k_0-1}}=\frac{(k_0+1)q}{(n-k_0)p} \geqslant 1k_0 \leqslant np-q.

Учитывая оба неравенства, окончательно получим

np-q \le k_0 \le np+p

В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является:

  • единственное число k_0=\lceil np+p \rceil, если число np+p не целое;
  • два числа k_0=np+p и k_0=np+p-1, если число np+p целое.

При достаточно большом числе испытаний (n \rightarrow \infty) из полученного выше выражения, получим p \thickapprox \frac{k_0}{n}статистическое определение вероятности.

При больших значениях n наиболее вероятная относительная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.


 

ПРИМЕР 2. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна p=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение

Вероятность нормального расхода p=0,75. Вероятность перерасхода q=1-p=0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

P_6(4)=C_6^4 \cdot p^4 \cdot q^2=\frac{6! \cdot 0,75^4 \cdot 0,25^2}{4! \cdot 2!} \thickapprox 0,3

ОТВЕТ: Вероятность того, что расход э/э не превысит нормы составляет примерно 0,3 или 30%.


Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m>2) попарно несовместных и возможных исходов, которые обозначим A_j(j=1,2, \dots, m). События A_j составляют полную группу событий. Вероятности наступления каждого события p_j=P(A_j) — в общем случаи различны и удовлетворяют условию \sum_{j=1}^{m} p_j=1. В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел k_i таких, что \sum_{i=1}^{m} k_i=n, определим вероятность P_n(k_1,k_2, \dots, k_m) того, что при n испытаниях исход A_1 наступит ровно k_1 раз, исход A_2-k_2 раз и т.д., исход A_m произойдет k_m раз:

P_n(k_1,k_2, \dots, k_m)=\frac{n!}{k_1!k_2! \dots k_m!}p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_m^{k_m}

Данное выражение носит название формула полиномиального распределения.


ПРИМЕР 3. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Какова вероятность события – выпало ровно десять шестерок и три единицы?

Решение

Вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/ 6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/ 6 . Тогда вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и 2 других значения чисел равна:

P_{15}(10,3,2)=\frac{15!}{10!3!2!} \cdot \frac{1}{6^{10}} \cdot \frac{1}{6^3} \cdot (\frac {4}{6})^2 \thickapprox 1,022 \cdot 10^{-6}

ОТВЕТ. Вероятность выпадения десяти шестерок и трех единиц ничтожно мала и составляет примерно 0,0001022%

Ну вроде на этом можно пока закончить, далее будем рассматривать теоремы Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.