Архив за месяц: Июнь 2017

Тангенс и котангенс

Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.

Определение

Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — это отношение косинуса к синусу.

Обозначают их:

tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x};   ctg\ x = \frac{cos\ x}{sin\ x}

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

tg\ x = \frac{sin\ x}{cos\ x}, где x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k

ctg\ x = \frac{cos\ x}{sin\ x}, где x \neq \pi k

Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):

  I II III IV
tg x + +
ctg x + +

ПРИМЕР 1 Вычислите а) tg \ \frac{\pi}{4};  б) ctg \ \frac{5\pi}{6}

а) Чтобы найти значение тангенса, нужно значение синуса разделить на значение косинуса:

tg\ \frac{\pi}{4} = \frac{sin\ \frac{\pi}{4}}{cos\ \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

б) Чтобы найти значение котангенса, нужно значение косинуса разделить на значение синуса (значения также возьмем в таблице):

ctg\ \frac{5\pi}{6} = \frac{cos\ \frac{5\pi}{6}}{sin\ \frac{5\pi}{6}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}

 

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса, скачать их можно по ссылке: tablica-bradisa-skachat

\frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} 0
tg x \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} 0
ctg x \sqrt{3} 1 \frac{\sqrt{3}}{3} 0

Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:

  1. Для любого допустимого значения х справедливы равенства:

    tg\ (-x) = -tg\ x

    ctg\ (-x) = -ctg\ x

  2. Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:

tg\ (x+\pi)= tg\ \pi

ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi

Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

Всем спасибо!

Синус и косинус

Я решил, что не будем слишком долго разжевывать теоретическую часть введения в тригонометрию так, как в любом случае мало кто ее будет читать и уж тем более маловероятно, что он там все поймет. Я считаю, что лучший способ изучения математики — это не зубрежка, а работа с конкретными примерами и чем больше тем лучше. Поэтому я решил опустить несколько скучных лекций и приступить сразу к главному.

Определение синуса и косинуса

Итак, в первую очередь, начнем с определения.

Во-первых построим числовую окружность и отметим на ней некоторые точки:

числовая окружность

Если точка М числовой единичной окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа и обозначают \cos \; t, а ординату точки М называют синусом числа и обозначают \sin \; t.

Итак, судя по нашему рисунку мы видим, что

если M(t) = M(x, y), то

x= \cos \; t

y=\sin \; t

Отсюда следует, что

-1 \le \sin t \le 1

-1 \le \cos t \le 1

Вспомним, что каждая точка числовой окружности имеет в системе x0y свои координаты, причем для точек:

  • первой четверти: x > 0; y > 0
  • второй четверти x < 0; y > 0
  • третьей четверти: x < 0; y < 0
  • четвертой четверти: x > 0; y < 0

Это нам с вами поможет составить таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям окружности:

I II III IV
синус + +
косинус + +

В дальнейшем эту таблицу мы с вами продолжим, а также разберемся в каких случаях она применяется.

Основное тригонометрическое тождество

Надеюсь, все вы помните, что уравнение числовой окружности имеет вид:

x^2+y^2=1

Тем самым фактически мы можем получить важнейшее равенство, связывающее синус и косинус между собой, а именно:

\boxed {\sin^2x+\cos^2x=1}

В дальнейшем мы будем называть это равенство основным тригонометрическим тождеством. А если оно «основное», то знать его нужно всем обязательно, в отличие от большинства других формул тригонометрии.

Ну и последнее, что я хочу сказать по теории, это, конечно, таблицы значений синусов и косинусов, с которыми вы, наверное, уже сталкивались, если изучали курс геометрии.

Но для тех, у кого их нет, я выложу основные из значений:

1 часть таблицы (значения от 0 до 180º):

0 \dfrac{\pi}{6} \dfrac{\pi}{4} \dfrac{\pi}{3} \dfrac{\pi}{2} \dfrac{2\pi}{3} \dfrac{3\pi}{4} \dfrac{5\pi}{6} \pi
30º 45º 60º 90º  120º 135º 150º 180º
sin t 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0
cos t 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0 -\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} –1

2 часть таблицы (значения до 360º):

\dfrac{7\pi}{6} \dfrac{5\pi}{4} \dfrac{4\pi}{3} \dfrac{3\pi}{2} \dfrac{5\pi}{3} \dfrac{7\pi}{4} \dfrac{11\pi}{6} 2\pi
210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
sin t -\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} –1 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{1}{2} 0
cos t -\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{1}{2} 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1

С теорией покончено, давайте решим несколько примеров:

Решение уравнений и неравенств

ПРИМЕР 1 Вычислить cos t и sin t, если

а) t=\frac{45\pi}{4}; б) t=-\frac{37\pi}{3}; в) t=-18\pi

Решение

а) В первую очередь смотрим в таблицу значений синуса и косинуса и видим сразу, что такого значения t там нет, но, как вы должны знать, данная таблица составлена по числовой окружности, поэтому 0º = 360º. Т.е. все значения после 2\pi будут повторяться. Остается лишь найти, в какой четверти находится \frac{45\pi}{4}.

Имеем,

\frac{45\pi}{4}=\frac{45}{4}\pi=(10+\frac{5}{4})\pi=10\pi+\frac{5\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi \cdot 5

Если, кому не понято, то вначале я неправильную дробь перевел в смешанное число, а дальше в принципе все понятно, если целая часть четная — то ее опускаем, т.к. будет (2\pi), а если нечетная — то в конце концов останется еще \pi и его будем прибавлять к нашей обыкновенной дроби.

Отсюда следует, что числу \frac{45\pi}{4} соответствует та же точка числовой окружности, что и \frac{5\pi}{4}.

Теперь заглянем в таблицу и видим, что

sin (\frac{45\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, а cos (\frac{45\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

 

б) Также переписываем неправильную дробь в виде смешанного числа:

-\frac{37\pi}{3}=-\frac{37}{3}\pi=-(12+\frac{1}{3})\pi=-12\pi - \frac{\pi}{3};

-12 — четное число, поэтому забываем про него и значения смотрим по второму слагаемому —\frac{\pi}{3}. В итоге у нас вышло отрицательное число, а значит, отсчитывать значения мы будет по часовой стрелке, т.е. начиная с четвертой четверти, а не с первой. Отсчитав, видим, что  -\frac{\pi}{3} соответствует \frac{5\pi}{3}, (чтобы было понятнее -\frac{\pi}{3} соответствует -60º,  а 360º — 60º = 300º, поэтому и смотрим ответ у \frac{5\pi}{3}, значит,

sin (-\frac{37\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2},  cos (-\frac{37\pi}{3}) = \frac{1}{2}

 

в) Здесь все вообще супер — просто. t=-18\pi. Как видите, в значении целая часть и причем она четная, а это значит, она будет соответствовать значению -2\pi. Как видим представленное значение t соответствует значению нуля, т.е.

sin (-18\pi)=0; cos (-18\pi)=1.

ПРИМЕР 2 Решить уравнение: sin t = \frac{1}{2}

Решение:

Учтем, что sin t — это ордината точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой \frac{1}{2} и записать, каким числам t они соответствуют.

В нашем случае, если посмотреть в таблицу мы видим, что данной ординате соответствуют точки \frac{\pi}{6} и \frac{5\pi}{6}

Следовательно,

Ответ: t=\frac{\pi}{6}+2\pik; t=\frac{5\pi}{6}+2\pik

Как вы, надеюсь, понимаете с косинусом все будет наоборот, вы будете искать значение абсциссы (т.е. в таблице смотреть значения косинуса).

С уравнениями, думаю, все понятно. Перейдем к неравенствам. С ними обстоят дела похоже, но кое-чем отличаются.

ПРИМЕР 3 Решить неравенство cos t > -\frac{\sqrt{2}}{2}

Решение:

Учтем, что cos t — абсцисса точки M(t) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности точку с абсциссой t > -\frac{\sqrt{2}}{2} и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая t = -\frac{\sqrt{2}}{2} пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству же соответствуют все точки открытой дуги (т.е. все что находится между этими точками пересечения). Согласно таблице, это точки -\frac{3\pi}{4} и \frac{3\pi}{4}. Получается, решением неравенства будут все точки, входящие в данный интервал.

Ответ:  -\frac{3\pi}{4} + 2\pik < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pik.

Завершая в данном уроке разговор о синусе и косинусе хотел бы вам также представить еще несколько важных формул, которые справедливы для любого значения t.

1. sin (-t) = -sin t;  cos (-t) = cos t

К примеру, sin (-\frac{\pi}{6}) = -sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}

2. sin (t + 2πk) = sin t;  cos (t + 2πk) = cos t

Это очевидно, так как 2π — это период функции, равный одному кругу, а k  — это количество таких периодов. И вы, уже должны были понять, что, когда первый круг заканчивается 360º, то все начинается сначала, т.е. 390º будут соответствовать 30º

3. sin (t + π) = -sin t; cos (t + π) = -cos t

Это также очевидно, если вы внимательно изучали таблицу, то заметили, что значения после половины периода π соответствуют другому периоду, но с противоположным знаком.

4. sin (t + \frac{\pi}{2} = cos t; cos (t + \frac{\pi}{2} = -sin t

Также, если внимательно изучали таблицу, то и эту закономерность вы должны были заметить.

Ну вот с основными закономерностями таблицы синусов и косинусов мы ознакомились и на этом можно заканчивать.

 

Всем спасибо, если есть вопросы по теме пишите, обязательно отвечу!!!

 

Возведение в степень произведения и степени

Возведение в степень произведения

Выражение (ab)^4 является степенью произведения множителей a и b. Данное выражение можно представить в виде степеней a и b:

(ab)^4=ab \cdot ab \cdot ab \cdot ab = (aaaa) \cdot (bbbb) = a^4b^4

Отсюда делаем вывод, что

(ab)^4=a^4b^4

Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

Для любых a и b и произвольного натурального числа n 

(ab)^n=a^nb^n

Данное свойство распространяется и на большее число множителей, т.е.

(abc)^3=a^3b^3c^3 и т .д.

Отсюда можно вывести правило:

чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

ПРИМЕР 1 Возведем в 4 степень произведение 3xy

Согласно правилу, чтобы выполнить условие примера необходимо, каждый из множителей возвести в четвертую степень:

3^4x^4y^4=81x^4y^4

А теперь давайте немного усложним и придадим неизвестным значения: х = 2, y = -4. Подставим их и получаем:

81 \cdot 2^4 \cdot (-4)^4 = 81 \cdot 16 \cdot 256 = 331 776

Ответ: 331 776

Возведение степени в степень

Выражение (b^4)^3 есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием b:

(b^4)^3=b^4b^4b^4=b^4+4+4=b^{4 \cdot 3}=b^{12}

Отсюда следует правило:

При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются.

ПРИМЕР 2 Представим выражение (x^4)^2 в виде степени с основанием x.

Имеем:

(x^4)^2=x^{4 \cdot 2}=x^8

Проще простого)

Кстати, свойства степеней, изученных на данном уроке относятся и к нулевым показателям, если основание отличное от нуля, т.е.

(x^3)^0=x^0=1 или (ac)^0=a^0a^0=1

Основные свойства степени

Ну и для тех кому было лень читать два урока по степеням, приведу все основные свойства еще раз:

Умножение степеней: a^3a^4=a^{3+4}=a^7

Деление степеней: a^4:a^2 = a^{4-2}=a^2

Нулевая степень: a^0=1

Степень произведения: (ab)^3=a^3b^3

Степень степени: (a^3)^7=a^{3 \cdot 7} = a^{21}

На этом можно и закончить знакомство со степенями, все основное вы должны были узнать, самое главное научиться применять все это на практике. Но думаю и с этим вы справитесь.

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Умножение и деление степеней

Умножение степеней

Выражение b^3b^2 представляет собой произведение двух степеней с одинаковым основанием. Это произведение можно записать и по-другому, а именно избавиться от степеней и представить их в виде множителей, в общем b^3=bbb, а b^2=bb, теперь если их перемножить, то получаем bbb \cdot bb = bbbbb. И если снова множители записать в виде степени получим, bbbbb = b^5.

Исходя из этого можно с уверенностью сказать, что

b^3b^2=b^{3+2}=b^5

И отсюда, мы можем вывести следующее правило

Для любого числа a и произвольных натуральных чисел m и n

a^ma^n=a^{m+n}

Данное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется не только на две степени, но и на три и более.

c^mc^nc^k=c^{m+n+k}

Из основного свойства степени следует правило умножения степеней:

при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

ПРИМЕР 1 Вычислить x^3x^4 при x=2

x^3x^4=x^{3+4}=x^{7}=2^7=128

Деление степеней

Выражение b^6 : b^3 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Данное выражение имеет смысл, только если b ≠ 0. Давайте также как и в случае с умножением представим наши степени в виде множителей:

\frac{bbbbbb}{bbb}. Теперь если сократим получившееся выражение, то получим bbb или b^3. Отсюда можно сделать вывод, что b^6 : b^3 = b^{6-3} = b^3. Аналогично можно делать и с другими степенями. Исходя из полученных результатов сформулируем еще одно свойство степени:

Для любого числа а ≠ 0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m > n,

a^m : a^n = a^{m-n}

Доказывать данное свойство я не буду, лишняя трата времени, но теперь сформулируем правило деления степеней:

при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

ПРИМЕР 2 Вычислить x^9 : x^3 при x=3

x^9 : x^3 = x^{9-3}=x^6=3^6=729

И давайте рассмотрим еще один частный случай, к примеру, вычислить x^4 : x^4. Исходя из правила мы получаем: x^4 : x^4 = x^{4-4}=x^0.

Но как мы говорили на предыдущем уроке, любое число в нулевой степени равно единице, а значит и в нашем случае будет единица.

Сформулирую правило, если кому не понятно:

Степень числа a, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Ну вроде я все рассказал, надеюсь всем всё понятно)

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Определение степени с натуральным показателем

Вы уже давно знаете, что для того, чтобы уменьшить записи одинаковых слагаемых придумали умножение, но если вы вдруг не знали, то для того, чтобы уменьшить записи одинаковых множителей, также придумали свое действие.

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью. Например:

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6

Повторяющийся множитель называют основанием степени, а количество таких множителей — показателем степени.

Так, в нашем выражении 3^6, 3 — основание степени, а 6 — показатель.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется выражение a^n, равное произведению n-множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа a с показателем 1 называется само число a.

Читается такая запись так «а в степени n». К примеру, 3^6 читается «три в шестой степени» или «три в степени шесть» или «шестая степень числа три».

Нахождение значения степени называют возведением в степень. К примеру,

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 или 1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

При возведение в степень положительного числа получается положительное число, при возведение в степень нуля получается нуль.

При возведении в степень отрицательного числа может получиться, как отрицательное, так и положительное число. Ведь вы прекрасно помните, что «минус на минус дает плюс». Т.е. исходя из этого, если отрицательное число возвести в четную степень получится положительное число, а если в нечетную степень, то отрицательное число.

Степень отрицательного числа с четным показателем — положительное число; Степень отрицательного числа с нечетным показателем — отрицательно число.

При нахождении значения выражений, в первую очередь, если нет скобок, выполняется возведение в степень!

ПРИМЕР 1 Найдем значение выражения 2 \cdot 3^5

  1. Возводим в степень: 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243
  2. Находим произведение: 2 \cdot 243 = 486

Ответ: 2 \cdot 3^5=486

ПРИМЕР 2 Найдем значение выражения -2^7+(-5)^3

  1. Возводим в степень: 2^6=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128
  2. Добавляем минус: -2^6=-128
  3. Возведем в степень: (-5)^3=(-5) \cdot (-5) \cdot (-5)=-125
  4. Находим сумму: -128+(-125)=-253

Ответ: -2^7+(-5)^3=-253

Думаю достаточно, всем спасибо!

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.