Архив за месяц: Май 2017

Прямая пропорциональность и ее график

На предыдущих уроках вы узнали, что такое функция, а также научились строить графики функций. Но функции, как и все другое имеют свою классификацию и на данном уроке мы познакомимся с самой простой функцией.

Определение

Рассмотрим пример.

Пусть V — объем деревянного бруска, выраженный в кубических сантиметрах, а m — его масса, выраженная в граммах. Любой материал, если вы не знаете имеет свою плотность (с уроков физики, вы узнаете, что плотность задается формулой \rho=V \cdot m). Но для определения плотность вообще существуют таблицы, умные люди давно уже все рассчитали, а нам остается только найти нужную информацию. Конечно, плотность древесины отличается, в зависимости, от дерева, из которого она была изготовлена, поэтому допустим наш брусок изготовлен из дуба. Тогда плотность нашего бруска равна 0,69 г/см^3, следовательно масса нашего бруска m = 0,69V. А вот зависимость массы нашего бруска, от его объема является примером функции, которое задается уравнением y = kx, где x — независимая переменная, а k — число, отличное от нуля. Такая функция называется прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx, где х — независимая переменная, а k — число, не равное нулю.

Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

ПРИМЕР 1

Путь s км — это пройденный пешеходом за t ч с постоянной скоростью 3 км/ч, вычисляется по формуле s = 3t, где t > 0, т.е. зависимость пути от времени является прямой пропорциональностью.

ПРИМЕР 2

Стоимость p товара в рублях по цене 30 р. за кг. вычисляется по формуле p=30x, где x — масса товара в килограммах. В данной задаче также представлена прямая пропорциональность.

 

Ну чтож а теперь давайте посмотрим, что же представляет собой график прямой пропорциональности.

В качестве примера воспользуемся функцией y=1,5x и построим график этой функции.

Область определения прямой пропорциональности — это вся числовая прямая (т.е. мы можем брать абсолютно любые числа). Составим таблицу значений аргумента:

x -2 0 2
y -3 0 3

Отменим эти три точки на координатной плоскости и соединим их. Как видите у нас получилась прямая, проходящая через начало координат. Но так как это прямая — то у нее нет начала и нет конца (мы ведь могли взять любые точки), а значит функция не должна ограничиваться в точках. Посмотрите, как вышло у меня:

yotx.ru (2)

Рассуждая аналогично, можно построить также и другие графики, к примеру y = -0,5x построим в той же плоскости

Для начала заполним таблицу значений аргумента:

х -1 0 1
y 0,5 0 -0,5

График я нарисовал красным цветом

yotx.ru (3)

Как видите данный график также проходит через начало координат.

Вообще,

график прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0; 0).

Как вы еще заметили, график прямой пропорциональности симметричен относительно четвертей координатной плоскости, а значит, чтобы построить график вам потребуется найти лишь одно значение аргумента (одну точку x) и провести прямую через нее и через точку (0; 0).

 

Ну вроде по данному типу функций, я все рассказал, а значит, пора заканчивать урок. Всем спасибо.

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Функции и их графики. Часть 2

Продолжаем разбираться с функциями, первую часть урока можно найти по ссылке: Функции и их графики. Часть 1

График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой

y=\frac{6}{x+3}

где -2 ≤ х ≤ 3.

По данной формуле можно найти соответствующее значение функции для любого значения аргумента.

Давайте составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2 3
y 6 3 2 1,5 1,2 1

Значения y находиться очень просто, нужно лишь значение х подставить в наше уравнение.

Теперь построим координатную плоскость, и отметим на ней все точки, считая значение x — абсциссой, а соответствующее значение y — ординатой.

После этого аккуратно соединяем все точки (соединять желательно не прямыми линиями от точки к точке, а более красиво, как сделал я.

yotx.ru (31)

Значения x можно брать абсолютно любые, главное, чтобы они соответствовали условию, в нашем случае это -2 ≤ х ≤ 3. Все такие точки и образуют график функции. 

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ПРИМЕР 1 Построить график функции y=x(4-x), где -2 ≤ x ≤ 2

Все очень просто, также составляем таблицу значений, точки выберем из всех целых чисел, чтобы было удобнее строить

х -2 -1 0 1 2
y -12 -5 0 3 4

Теперь отметим в координатной плоскости точки и соединим их

yotx.ru (32)

График функции построен!

Кстати, чем больше точек, принадлежащих графику мы отменим, тем точнее будет построен график!

ПРИМЕР 2 Дан график, по нему необходимо определить:

а) значение функции при х = 4;

б) значения х, при которых значение функции равно 3

Собственно сам график

yotx.ru (1)

а) Чтобы найти значение функции в точке х = 4, нужно от это точки провести перпендикуляр к оси Y и та точка, в которой перпендикуляр пересечет ось и будет являться значением функции в данной точке.

Для нашего случая, значение функции в точке х = 4, равно 3

б) Тоже самое делается, если нужно найти значения х, только в этом случае перпендикуляр проводиться к оси Х.

Как вы заметили по моему графику, значение функции равно 3 в четырех точках, а именно -4; -2,2; 2,2; 4.

Во всех этих точках значение х будет равно трем.

 

Графики используются везде, включая большинство дисциплин (от математики до географии, экономики и т. д.)., ведь именно по графику можно увидеть зависимость между величинами.

 

На этом, думаю, можно закончить нашу беседу. Вроде все рассказал, что знал. Дальше мы с вами уже изучим более конкретные функции и их графики, которые будут нам необходимы для изучения математики в дальнейшем.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем —  теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события A, которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: H_1, H_2,...,H_n, образующих полную группу несовместных событий, то есть

H_i \bigcap H_j = \O,  i,j = 1, ... , n;   i \neq j;  \sum_{i=1}^{n}H_i = \Omega.

Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема

Вероятность события A равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события:

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)

Не буду представлять доказательство, думаю тут и так все ясно. Давайте лучше сразу перейдем к примерам.

ПРИМЕР 1 Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся два белых и один черный шар. Во второй урне – три белых и один черный, а в третьей урне – два белых и два черных. Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны извлечет белый шар? 

Решение.

Рассмотрим 3 гипотезы:

H_1 — выбор первой урны;

H_2 — выбор второй урны;

H_3 — выбор третей урны.

Событие A вынут белый шар. Из условия задачи следует, что гипотезы равновозможны: P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\frac{1}{3}. Если случайно подойти к первой урне, то вероятность извлечь из нее белый шар равна \frac{2}{3}. Рассуждая аналогичным образом, вычислим условные вероятности события A при этих гипотезах соответственно: P(A/H_1) = \frac{2}{3}, P(A/H_2)=\frac{3}{4}, P(A/H_3)=\frac{1}{2}. Теперь используем формулу полной вероятности, из теоремы и окончательно получим:

P(A)=\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{36}

Ответ: вероятность данного события равна 23/36 или 63,89%

ПРИМЕР 9. Представим себе странника, идущего из некоторого пункта O и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта O попадет в пункт A?

Давайте начертим произвольный рисунок, ну к примеру, вот такой:

траектория

Решение

Как видно из нашего рисунка, странник обязательно должен пройти через один из пунктов B_1, B_2, B_3 и B_4. Обозначим H_k — гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет из пункта O в пункт B_k. Очевидно, что события H_1, H_2, H_3 и H_4 образуют полную группу событий. Эти гипотезы (события) равновероятны, так как по условию задачи, странник наугад выбирает один из путей OB_1, OB_2, OB_3 или OB_4. Тогда P(H_k)=\frac{1}{4}. Из пункта B_1 в A можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь A при условии H_1 равна 1/3. Рассуждая аналогично мы получаем следующее:

P(A/H_1) = \frac{1}{3}

P(A/H_2) = \frac{1}{2}

P(A/H_3) = 1

P(A/H_4) = \frac{2}{5}

А теперь применим формулу полной вероятности и получаем:

P(A)=\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 + \frac{2}{5}) = \frac{67}{120}

Ответ: вероятность того, что странник попадет из пункта О в пункт А равна 67/120 или 55,83%.

На следующих уроках мы с вами перейдем уже к более сложным темам, а именно к формулам и теоремам Байеса, Бернулли, Пуассона и т.д.

А пока на этом все! Всем спасибо!

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Теорема умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)

Доказательство

Предположим, что из n всевозможных элементарных исходов событию A благоприятствуют m исходов, из которых k исходов благоприятствуют событию B. Тогда вероятность события A будет P(A)=m/n, условная вероятность события B относительно события A равна P(B/A)=k/m.

Произведению событий A и B благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию A, и событию B одновременно, то есть k исходов. Поэтому вероятность произведения событий A и B равна P(AB)=k/n. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на m, получим

P(AB)=mk/mn=(m/n) \cdot (k/m)=P(A) \cdot P(B/A)

Аналогично можно показать, что P(AB)=P(B)P(A/B).

Следствия

Следствие 1. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A.

Доказательство. Согласно условию, событие A не зависит от события B, тогда с учетом условия зависимости и независимости получим P(A/B)=P(A). Теперь подставим это уравнение в формулу из теоремы умножения вероятностей и получим:

P(A) \cdot P(B/A) = P(B) \cdot P(A)

Разделив левую и правую часть уравнения на P(A) ≠ 0, получим:

P(B/A) = P(B)

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot ... \cdot A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot ... \cdot P(A_k)

Следствие доказано.

Теперь давайте решим немного примеров, чтобы было более понятно, как употреблять данную теорему и следствия на практике.

ПРИМЕР 6. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равны: p_1=0,8, p_2=0,9, p_3=0,7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время t?

Решение. Обозначим события:

A — безотказная работа прибора;

A_1 — безотказная работа первого узла;

A_2 — безотказная работа второго узла;

A_3 — безотказная работа третьего узла. Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов: A=A_1 \cdot A_2 \cdot A_3.

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим

P(A)=P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,8 \cdot 0,9 \cdot 0,7 = 0,504

Ответ: вероятность безотказной работы прибора равна 0,504 или 50,4%.

ПРИМЕР 7. Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

Решение. Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие A — «в первый раз вынут «неудачный» билет», B — во второй раз вынут «удачный» билет. Очевидно, что события A и B зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события A∩B . По формуле умножения вероятностей:

P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B/A);

P(A)=4/34; P(B/A)=30/33, тогда P(A \bigcap B)=\frac{4 \cdot 30}{34 \cdot 33} \approx 0,107.

Ответ: вероятность того, что студент сдаст экзамен равна 0,107 или 10,7%.

На этом думаю можно закончить, тема не сложная, главное все внимательно изучить.

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.

Условная вероятность. Независимость событий

При решении вероятностных задач часто возникает необходимость определить вероятность события в ситуации, когда о нем имеются дополнительные сведения.

Постановка задачи: нужно определить вероятность события A после того, как стало известно, что некоторое событие B произошло, иными словами, имел место исход, благоприятствующий событию A.

ПРИМЕР 1 Бросается игральная кость. Пусть событие A состоит в выпадении четного числа очков. Стало известно, что произошло событие B, состоящее в выпадении числа очков меньше четырех. Определить вероятность события A при условии, что наступило событие B.

Решение. Пространство элементарных исходов при бросании игральной кости определяется шестью исходами U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Известно, что произошло событие B, которому благоприятствуют три исхода U_1 = {1, 2, 3}. В этих условиях вероятность события А равна \frac{1}{3}, так как событию А благоприятствует исход {2} из U_1 = {1, 2, 3}.

Условная вероятность

Определение. Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие B, называется отношение числа k тех благоприятствующих A исходов, которые и благоприятствуют B, к числу m всех исходов, благоприятствующих B.

Условная вероятность обозначается P(A|B)

По определению P(A|B)=\frac{k}{m}; если B — невозможное событие, то P(A|B) не определена.

Заметим, что P(A|B)=\frac{k/n}{m/n}, но P(AB)=\frac{k}{n}, P(B)=\frac{m}{n}.

Поэтому

P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

Эта формула служит для определения условий вероятности в общем случае. Вероятности P(AB) и P(B) , называются безусловными.

Свойства условных вероятностей 

  1. Всегда 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, причем P(A|B) = 0, если А — невозможное событие, и P(A|B) = 1, если А ⊂ B (A включено в B)
  2. Если C = A∪B и A∩B = Ø, то для любого события D: P(A/D)+P(B/D)=P(C/D)
  3. Если \bar{A} — событие противоположное A, то P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)

ПРИМЕР 2. Изучается качество техобслуживания, обеспечиваемое пятьюдесятью автомеханиками в определенном городе. Результаты изучения представлены в таблице.

Хорошее обслуживание Плохое обслуживание
Стаж работы более 10 лет 16 4
Стаж работы менее 10 лет 10 20

1. Какова вероятность, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили?

2. Если автомеханик случайно выбран и его стаж более 10 лет, то какова вероятность, что он хорошо обслуживает автомобили?

Решение 

1. В данном случае объем выборочного пространства n=50. Пусть A – событие, состоящее в том, что выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомашины. Используя данные из таблицы, имеем m=26 Тогда вероятность события A

P(A)=\frac{26}{50}=0,52

2. Пусть событие B состоит в том, что выбранный механик имеет стаж более 10 лет. В данном случае объем выборочного пространства уменьшается, он равен сумме элементов первой строки: n=16+4=20. Число благоприятных для события исходов m=16, поэтому

P(A|B)=\frac{16}{20}=0,8

Ответ: вероятность того, что случайно выбранный автомеханик хорошо обслуживает автомобили равна 0,52 или 52%

Вероятность того, что автомеханик со стажем более 10 лет хорошо обслуживает автомобили равна 0,8 или 80%.

ПРИМЕР 3. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что выбранный случайным образом механик проработал менее 10 лет и хорошо обслуживает автомобили.

Решение. Пусть D – событие, состоящее в том, что механик проработал меньше 10 лет. Событие C состоит в том, что механик хорошо обслуживает автомобили. Для определения условной вероятности P(C|D) используем формулу

P(C|D)=\frac{P(CD}{P(D)}

Отсюда

P(C|D)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}

Ответ: вероятность равна примерно 0,3333… или 33,33%

Если обе стороны равенства, определяемого формулой P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, умножить на P(B), то получим следующее правило умножения вероятностей в общем случае:

P(AB)=P(B) \cdot P(A|B)

Правило умножения вероятностей в общем случае, если поменять местами A и B и использовать факт, что A∩B = B∩A, получаем следующее:

P(AB)=P(A) \cdot P(B|A)

Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

ПРИМЕР 4. Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события: A – появления герба на первой монете; B – появление герба на второй монете.

Решение. Очевидно, событие A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A независимо от события B.

ПРИМЕР 5. В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события: A – появление белого шара у первого человека, B – появление белого шара у второго человека.

Решение. Вероятность события A равна 2/3. Если стало известно, что событие A произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события B становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие B зависит от события A.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место другое событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается: P(B/A).

Для ПРИМЕРА 5. P(A)=\frac{2}{3}; P(B/A)=\frac{1}{2}

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

P(A/B)=P(A)

верно, то события A и B называются независимыми.

Если верно выражение

P(A/B)P(A),

то события A и B называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится a белых и b черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны. Если реализуется схема без возвращения, то события – зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события – независимые.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.