Архив за месяц: Январь 2017

Урок №4 Линейные уравнения первого порядка

Теоретическая часть

Уравнение

y'+a(x)y=b(x)           (1)

называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение

y'+a(x)y=0               (2)

(это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для y, подставить в уравнение (1) и найти функцию С(х).

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное.

Пример №1 Привести уравнение y=(2x+y^3)y' к линейному виду.

Данное уравнение, в котором y является функцией от xнелинейное.

Запишем его в дифференциалах:

ydx-(2x+y^3)dy=0

Так как в это уравнение x и dx входят линейно, то уравнение будет линейным, если x считать искомой функцией, а y — независимым переменным.

Тогда уравнение можно представить в виде:

\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=y^2

И решается данное уравнение аналогично (1).

Пример №2 Решить уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли: y'+a(x)y = b(x)y^n, где n≠1.

Чтобы решить данное уравнение нужно обе части разделить на y^n, получаем:

\frac{y'}{y^n}+\frac{a(x)}{y^{n-1}}=b(x).

Далее делаем замену: \frac{1}{y^{n-1}}=z, получаем:

\frac{y'}{y^n}=\frac{z'}{1-n}

Теперь подставим это в выражение и получим:

\frac{z'}{1-n}+a(x)z=b(x).

Избавившись от знаменателя мы получаем линейное уравнение, которое решается аналогично (1).

Пример №3 Решить уравнение Риккати.

Уравнение Риккати имеет вид: y'+a(x)y+b(x)y^2=c(x)

Данное уравнение не решается в квадратурах.

Если же известно, одно частное решение y_1(x), то делается замена y=y_1(x)+z.

Выполнив замену, мы получаем уравнение Бернулли, о котором мы говорили в предыдущем примере.


Кстати, иногда частное решение можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего y).

Существуют и другие способы решения линейных уравнений первого порядка, но мы рассмотрели самые удобные и простые в расчетах.

Пример №4 Решить уравнение (2x+1)y'=4x+2y

В первую очередь решим соответствующее однородное уравнение (о том как они решаются можно посмотреть в предыдущем уроке):

(2x+1)y'=2y.

Общее решение нашего однородного уравнения имеет вид:

y=C(2x+1).

Теперь применим метод вариации произвольной постоянной (то, о чем мы говорили в самом начале урока) и получаем:

(C'(2x+1)+2C)(2x+1)=4x+2C(2x+1)

или сделав преобразование получим:

(2x+1)^2C'=4x.

И отсюда находим С(х):

C(x) = 4∫\frac{xdx}{(2x+1)^2}+C_0 = ln|2x+1|+\frac{1}{2x+1}+C_0

И окончательный ответ:

y=(2x+1)(ln|2x+1|+C)+1

Пример №5 Найти путем подбора частное решение, привести данное дифференциальное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его.
x2y’ + xy + x2y2 = 4.

Ищем частное решение в виде

y_1(x)=\frac{a}{x}, где a — постоянная.

Подставив частное решение в уравнение получаем:

-a+a+a^2=4.

Решив неполное квадратное уравнение, получаем

a_1=2 и a_2=-2

Пускай a = 2, тогда, произведя замену: \y=frac{2}{x}+{1}{z} получаем линейное уравнение:

x^2z'-5xz-x^2=0.

Проинтегрировав полученное уравнение, находим:

z=Cx^5-frac{x}{4}.

Следовательно общее решение уравнения принимает вид:

y=\frac{2}{x}+\frac{4}{Cx^5-x}

Частное решение y_1=\frac{2}{x} получается из общего при С = ∞.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Обратная матрица

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу.

Обратная матрица

Матрица A^T называется транспонированной к матрице A, если выполняется условие:

A_{ij}^T=A_{ji}, для всех i,j, где a_{ij} и a_{ji} — элементы матриц A и A^T соответственно.

Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами.

Пример №1 Транспонировать матрицу А

матрица А 25452

Как я написал выше, транспонировать матрицу, значит, записать строки столбцами, а столбцы строками, т.е. первая строка становится первым столбцом, вторая строка — вторым столбцом и т.д.

Получаем,

транспонировання матрица А

И на этом, все — ничего ведь сложного? правда?

Свойства транспонированной матрицы А:

  • (A^T)^T = A
  • (A+B)^T = A^T+B^T
  • (AB)^T = B^T*A^T

Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если А — невырожденная матрица, то существует и при том единственная матрица A^{-1} такая, что

AA^{-1}=A^{-1}A = E, где

E — единичная матрица.

Матрица A^{-1} называется обратной к матрице А.

К большому сожалению найти обратную матрицу — это не значит поменять знаки на противоположные)) — это целый комплекс вычислений.

Мы с вами рассмотрим два основных метода решения обратной матрицы.

Метод присоединенной матрицы

Присоединенная (союзная) матрица A^V определяется, как транспонированная к матрице, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Справедливо равенство:

A^VA=AA^V=det A*E

⇒ если А — невырожденная матрица, то

A^{-1}=\frac{1}{det A}A^V

Пример №2 Найти обратную матрицу А

матрица А 559

В первую очередь, мы должны доказать, что матрица — невырожденная, а значит, вычислим определитель:

det A = 0+6+16-0-30+4 = -4 ≠ 0 — матрица невырожденная.

Теперь находим присоединенную матрицу, а здесь. ВНИМАНИЕ.

Чтобы найти первый член присоединенной матрицы, т.е. A^{(1,1)} нужно вычеркнуть первую строку и первый столбец и найти определитель оставшейся части:

матрицыапва

Т.е. цифры над буквой А, обозначают не только место определителя в присоединенной матрице, но и какую строку и какой столбец нужно вычеркнуть из исходной, (1 цифра — строка, 2 цифра — столбец) и, конечно, определяют знак матрицы.

Для наглядности также распишу, как найти второй член A^{(1,2)}:

матриц 595

Теперь, я думаю, принцип вам понятен.

Для большего удобства предлагаю вам записывать результаты на листе, также как они строят в матрице:

A^{(1,1)} = 0+4 = 4 A^{(1,2)}= -(15-8) = -7 A^{(1,3)}= -6-0 = -6
A^{(2,1)}=-(10-2)=-8 A^{(2,2)}= 5+4 = 9 A^{(2,3)}= -(-2-8) = 10
A^{(3,1)} = 4-0 = 4 A^{(3,2)}= -(2+3) = -5 A^{(3,3)}= 0-6 = -6

    Собрав все полученные числа и расставив их по своим местам, получаем матрицу:

 матрица 7454

Но согласно определению, нам требуется транспонированная матрица, поэтому делаем это преобразование и получаем союзную матрицу:

союзная матрица

Ну и последний штрих, чтобы найти обратную матрицу нужно каждый член союзной матрицы разделить на определитель исходной матрицы (который мы находили в самом начале, т.е. на -4):

обратная матрица 87898обратная матрица

Это и будет наш ответ, при желании сделать проверку нужно перемножить главную матрицу на обратную и если в результате получается единичная матрица — то решение верное!

Метод элементарных преобразований

Данный метод еще называют методом Гаусса и мы будем его еще применять при решении систем линейных уравнений.

К элементарным преобразования относятся:

  1. перестановки строк (столбцов);
  2. умножение строки (столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
  3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженные на некоторое число.

Пример №3 Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований

матрица 548989

Составляем расширенную матрицу [A|E]:

расширенная матрица 555415

Теперь наша задача состоит в том, чтобы первая часть матрицы (до черты) стала единичной, т.е. a_{11}, a_{22}, a_{33} принимают значение 1, а остальные значение 0.

Займемся первым столбцом

Число в первой строке нужно превратить в 1 для этого всю строку умножим на \frac{1}{3}.

Чтобы во второй строке получить 0 нужно из второй строки отнять первую строку, предварительно умноженную на \frac{4}{3}.

Чтобы в третьей строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{3}.

Все действия делаем от исходной расширенной матрицы, получаем:

45455

Первый столбец теперь соответствует единичной матрице, поэтому

Займемся вторым столбцом

Теперь мы работаем уже с полученной матрицей, после преобразований первого столбца.

Чтобы в первой строке получить 0 мы из первой строки отнимем вторую строку, предварительно умноженную на \frac{2}{7}.

Чтобы во второй строке получить 1 мы домножим вторую строку на \frac{3}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 0 мы к третьей строке прибавим вторую строку, предварительно умноженную на \frac{1}{7}

Выполнив данные действия, получаем:

матрица преобр 2

Работаем дальше с третьим столбцом:

Чтобы в первой строке получить 0 нужно из третьей строки вычесть первую строку, предварительно умножив на \frac{2}{3}.

Чтобы получить 0 во второй строке нужно к третьей строке прибавить вторую строку, предварительно умножив на \frac{1}{7}.

Чтобы в третьей строке получить 1 нужно домножить третью строку на \frac{7}{24}.

Получаем:

матрица преобр 3

В первой части матрицы мы получили единичную матрицу, а вторая часть матрицы (после черты) и будет нашей обратной матрицей:

обратная мрица 4994

Оба способа нахождения обратной матрицы, довольно простые, если в них вникнуть, самое главное — не допустить ошибок в вычислениях, а остальное придет со временем.

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Функции и их графики. Часть 1

Сегодня, на уроке, мы познакомимся с таким понятием, как функция и попробуем разобраться, что такое график функции и с чем его едят. Тема довольно важная, поэтому, чтобы не упустить никаких деталей я разделю эту тему на два урока.

Что такое функция

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. К примеру, площадь круга зависит от радиуса, площадь квадрата зависит от длины его стороны, а масса бруска зависит от его объема и плотности.

Так вот в ближайшие уроки мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Пример №1 Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна – a, а площадь квадрата равна S. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так например,

если a = 8 см, то S = 8^2=64см2;

если a=12 м, то S = 12^2=144 м2;

если a=0,3мм, то S=0,3^2 = 0,09 мм2

и так далее…

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой:

S=a^2,

где a – независимая переменная (задается произвольно), а S – зависимая переменная (получается в результате вычислений).


 

Пример №2 Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения автомобиля (t).

Обозначим время – t, а расстояние, пройденное автомобилем – s.

Например,

если t = 3 часа, то S = 50*3=150 км

если t = 1,2 часа, то S = 50*1,2 = 60км

и так далее…

В данном случае, зависимость переменной s, от переменной t выражается формулой:

s = 50t,

где t – независимая переменная, а s – зависимая переменная.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или просто функцией.

Вычисление значений функции по формуле

Функции, которые мы рассматривали выше, задавались различными способами. Наиболее распространенным способом является задание функции при помощи формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента, находить соответствующее значение функции путем преобразований и вычислений.

Пример №3

Пусть функция задана формулой y=\frac{4x+7}{3}, где  -2 ≤ x 2

Найдем значения функции для целых значений аргумента.

В нашем случае значения аргумента будут: -2, -1, 0, 1 и 2.

Чтобы найти значение функции для каждого значения аргумента нужно подставить все значения в нашу функцию,

т.е. при х = -2 имеем y=\frac{4*(-2)+7}{3} = \frac{-1}{3}

и так для всех оставшихся значений

Проще всего сделать таблицу:

x -2 -1 0 1 2
y -1/3 1 7/3 11/3 5

Мы составили таблицу значений функции с шагом – 1.  Здесь, в исходном примере была указана область определения функции, но бывает, что область определения D(y) не указывается вовсе, тогда мы принимаем за х все возможные значение, кроме тех, которые запрещены правилами. К счастью, вы знаете пока только одно правило «делить на ноль нельзя!», но есть и другие и о них вы узнаете позже. Чтобы было проще понять представим две функции:

y = 6(5x+4) и y = \frac{13+7x}{x-1}

Для первой функции область определения — вся числовая прямая, т.е. x может принимать абсолютно любое значение.

Для второй функции область определения — вся числовая прямая, кроме х = 1, при котором знаменатель обращается в ноль.

С помощью формулы можно найти и значение аргумента при заданном значении функции. Т.е. при известном y нужно будет найти неизвестное значение x.

На следующем уроке мы с вами научимся строить графики функций на плоскости.

Пример №4 Найти область определения функции

а) y=x^2+8

D(y) — вся числовая прямая

б) y= \frac{1}{x-1}

D(y) — вся числовая прямая, кроме x-1 = 0 ⇒ x = 1

в) y=\frac{4x-1}{5}

D(y) — вся числовая прямая

Здесь решать особо нечего можно и в уме просчитать все.

 

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно, задавайте в комментариях вопросы по теме.

Однородные уравнения

Сегодня, на уроке, мы рассмотрим и научимся вычислять такой вид уравнений, как однородные уравнения.

Теоретическая часть

Однородные уравнения могут быть записаны в виде y'=f\frac{y}{x}, а также в виде M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где М (x,y) и N (x,y) — однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену y=tx, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными, которые мы с вами научились вычислять на прошлом уроке.

Пример №1 Решить уравнение: xdy = (x+y)dx

Так как это однородное уравнение, то сделаем замену y=tx, тогда dy=xdt+tdx. Подставив это в наше уравнение, получим:

x(xdt+tdx) = (x+tx)dx;    xdt=dx

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, так давайте решим его теперь:

dt=\frac{dx}{x};   t = ln |x| + C

Делаем обратную замену:

y=x(ln|x|+C)

Кроме того, имеется решение x=0, которое было потеряно при делении на x.


 

Уравнение вида y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{ax+by+c}) приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых ax+by+c=0 и a_1x+b_1y+c_1=0.

Если же эти прямые не пересекаются, то a_1x+b_1y=k(ax+by); следовательно. уравнение имеет вид y'=F(ax+by) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z=ax+by (или z=ax+by+c).

Некоторые уравнения можно привести к однородным заменой y=z^m. Число m обычно заранее неизвестно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену y=z^m . Требуя, чтобы уравнение было однородным, найдем число m если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному данным способом.

Пример №2 Определить можно ли привести уравнение к однородному виду.

Дано уравнение 2x^4yy'+y^4=4x^6 и нам нужно определить можно ли его привести к однородному виду и какую замену для этого нужно сделать.

После замены y=z^m уравнение принимает вид:

2mx^4z^{2m-1}z'+z^{4m} = 4x^6

Это уравнение будет однородным если его степени всех его членов равны между собой, т.е. 4+(2m-1)=4m=6.

Найдем при каком значении все три равенства удовлетворяются.

Во, первых проще всего найти m из двух последних значений:

4m=6, отсюда m=\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Значение m мы нашли, но будет ли оно удовлетворять первому значению, проверим, подставив значение:

4+(2m-1) = 4+(2*\frac{3}{2}-1) = 4+3-1 = 6

Все три равенства удовлетворяются, а значит, наше уравнение можно привести к однородному виду заменой y=z^{\frac{3}{2}}


 

C теорией на сегодня все, тема легкая и, думаю, что понятная, но на всякий случай решим еще один пример:

Пример №3 Решить уравнение: 2x^2y'=y^3+xy

Допустим x=z^m, тогда получим

2mx^2z^{m-1}z'=z^{3m}+xz^m, 2mx^2z^{m-1}dz-(z^{3m}+xz^m)dx=0

⇒ функции 2mx^2z^{m-1} и z^{3m}+xz^m однородны лишь при одном условии:

m+1=3m=m+1, т.е. при m=\frac{1}{2}

Таким образом, в случае y ≥ 0 делаем замену y=√z. Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

x^2dz-(z+x)zdx=0

Делаем еще одну замену: z=xu(x) и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

xdu-u^2dx=0

Проинтегрировав его (не буду расписывать, надеюсь это вы умеете, если нет, то найдите урок про интегрирование функций) получаем:

\frac{1}{u}+ln|x| = C

Делаем обратную замену:

\frac{x}{y^2}+ln|x|=C

Решение уравнения y=0 входит в полученное семейство при C = ∞.

Пример №4 xy'=y-xe^{\frac{y}{x}}

Сделаем замену: y=tx, тогда y'=t+t'x, получаем:

x(t+t'x)=tx-xe^t

Раскроем скобки и упростим:

t'x^2=-xe^t

Запишем в дифференциалах:

\frac{xdt}{dx}=-e^t

e^{-t}dt=-\frac{dx}{x}

Продифференцировав, получаем:

-e^{-t}+ln|C|=-ln|x|

Упростим:

e^{-t}=lnCx

Найдем t:

t=-lnlnCx

Делаем обратную замену:

Ответ: y=tx=-xlnlnCx

Пример №5 (2x+y+1)dx-(4x+2y-3)dy=0

Найдем точки пересечения прямых, для этого решается система уравнений (надеюсь расписывать не нужно, если изучаете дифуры, то школьную базу вы и так должны знать).

Так вот решив систему уравнений, состоящую из двух уравнений 2x+y+1=0 и -(4x+2y-3) =0 мы выясняем, что точек пересечения нет, а если прямые не пересекаются, то вывод один — они параллельны и если построить график, то вы в этом убедитесь.

Так вот если прямые параллельны, то замену, которую мы проводили при решении примеров в параграфе мы не можем. Однако, в силу того, что коэффициенты y и x пропорциональны можем положить,что

z=2x+y

И тогда

dy=dz-2dx

и исходное уравнение принимает вид:

5(z-1)dx-(2x-3)dz=0

Интегрируя это уравнение получаем

Ответ:2x+y-1=Ce^{2y-x}

 

Прошу, не стесняйтесь спрашивать, если что-то не понятно или не сходятся ответы, задавайте в комментариях вопросы по теме.

 

 

Операции над матрицами

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/

Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и вычисляются немного по-другому. И именно сегодня мы этим и займемся.

Матрицей размера m x n или (m x n)-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел a_{i,j}, i=1,2,3,...,m, j=1,2,...,n

матрица m x n

 

 

 

, состоящая из m-строк и n-столбцов

 

Сумма матриц

Суммой A+B (m x n)-матриц A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) называется матрица C=(c_{ij}) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и В.

Ну с этим все очень просто, а рассмотрев пример, вообще поймете, что делать нечего.

Пример №1 Вычислить сумму матриц A и В

матрица 1матрица 2

Делаем согласно правилу: складываем элементы матрицы А и соответствующие элементы матрицы В:

матрица 1+2

Все! Сумма матриц А и В найдена! Проще простого.

Произведение матрицы на число

Произведением αA матрицы A=(a_{ij}) на действительное или комплексное число α называется матрица B, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число α.

Как вы видите из определения, здесь также нет ничего сложного.

Пример №2 Найти произведение матрицы A на число -2.

матрица 1

Просто перемножаем каждое число матрицы А на число -2:

матрица 1х-2

Произведение матриц

Произведением АВ (m x n)-матрицы A=(a_{ij}) на (n x k)-матрицу B=(b_{ij}), называется (m x k)-матрица C=(c_{ij}), элемент которой (c_{ij}), стоящий в i-строке и j-столбце равен сумме произведений соответствующих элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В.

Понимаю, что в этом огромном определении вам мало, что понятно, но все таки попробуем разобраться.

Во-первых знайте: умножать матрицы можно только в том случае, если число строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы!

Во-вторых знайте: переместительный закон умножения здесь не действует! Т.е. если матрицы поменять местами, то и результат изменится.

Ну а теперь давайте решим пример.

Пример №3 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

матрица 3матрица 4

Чтобы вам было проще и, чтобы вы не наделали глупых ошибок в вычислениях, советую сперва расписывать каждый элемент матрицы:

c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}= 4*2+(-4)*(-16) = 8+64 = 72

c_{12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = 4*(-10)+(-4)*0 = -40+0 = -40

c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = 3*2+7*(-16) = 6-112 = -106

c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = 3*(-10)+7*0 = -30

А теперь полученные числа, вписываем в матрицу, согласно координатам (ij):

матрица 34

Произведение матрицы найдено! Посложнее, конечно, но ничего поймете методику и вникните быстро).

Рассмотрим, теперь пример посложнее…

Пример №4 Найти произведение матрицы А на матрицу В.

612

Также распишем каждый элемент матрицы:

c_{11} =a_{11}b_{11} +a_{12}b{21} +a_{13}b_{31} =5*7+(-3)*8+4*(-3) = -1

c_{12} =a_{11}b_{12} +a_{12}b{22} +a_{13}b_{32} =5*(-3)+(-3)*(-5)+4*0 = -30

c_{13} =a_{11}b_{13} +a_{12}b{23} +a_{13}b_{33} = 5*1+(-3)*4+4*2 = 1

c_{21} =a_{21}b_{11} +a_{22}b{21} +a_{23}b_{31} = 6*7+1*8+0*(-3) = 43

c_{22} =a_{21}b_{12} +a_{22}b{22} +a_{23}b_{32} = 6*(-3)+1*(-5)+0*0 = -23

c_{23} =a_{21}b_{13} +a_{22}b{23} +a_{23}b_{33} = 6*1+1*4+0*2 = 10

c_{31} =a_{31}b_{11} +a_{32}b{21} +a_{33}b_{31} = (-5)*7+4*8+(-1)*(-3)= 0

c_{32} =a_{31}b_{12} +a_{32}b{22} +a_{33}b_{32} = (-5)*(-3)+4*(-5)+(-1)*0 = -5

c_{33} =a_{31}b_{13} +a_{32}b{23} +a_{33}b_{33} = (-5)*1+4*4+(-1)*2 = 9

Вот и все, а теперь, запишем, полученную матрицу:

АВ

Возьмем немного сложнее пример дальше.

Пример №5 Вычислить 3А + ВС

матрица А 25452 матрица В 14785 матрица С 98752

Решаем это, как обычный пример, правда вместо слагаемых будут выступать матрицы.

1 действие: 3*А:

матрица 9954

2 действие: BC:

bc_{11} =b_{11}c_{11} +b_{12}c{21} +b_{13}c_{31} =1*(-2)+8*8+(-7)*(-4) = 90

bc_{12} =b_{11}c_{12} +b_{12}c{22} +b_{13}c_{32} =1*4+8*(-7)+(-7)*8 = -108

bc_{13} =b_{11}c_{13} +b_{12}c{23} +b_{13}c_{33} = 1*5+8*4+(-7)*0 = 37

bc_{21} =b_{21}c_{11} +b_{22}c{21} +b_{23}c_{31} = 2*(-2)+0*8+5*(-4) = -24

bc_{22} =b_{21}c_{12} +b_{22}c{22} +b_{23}c_{32} = 2*4+0*(-7)+5*8 = 48

bc_{23} =b_{21}c_{13} +b_{22}c{23} +b_{23}c_{33} = 2*5+0*4+5*0 = 10

bc_{31} =b_{31}c_{11} +b_{32}c{21} +b_{33}c_{31} = 4*(-2)+(-1)*8+9*(-4)= -52

bc_{32} =b_{31}c_{12} +b_{32}c{22} +b_{33}c_{32} = 4*4+(-1)*(-7)+9*8 = 95

bc_{33} =b_{31}c_{13} +b_{32}c{23} +b_{33}c_{33} = 4*5+(-1)*4+9*0 = 16

Вставляем полученные результаты в матрицу и получаем:

матрица 87485

Ну а теперь, выполняем последнее действие, а именно складываем матрицы 3А и ВС:

матрицы сложение 848484

На этой хорошей ноте всем спасибо)

 

Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в заданиях, задавайте вопросы в комментариях.